Решите уравнение: x³ – 15x² + 56x = 0.

Решение:

Чтобы решить данное кубическое уравнение, сначала вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(x^2 - 15x + 56) = 0 \]

Из этого следует, что один из корней равен \( x_1 = 0 \).

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 15x + 56 = 0 \). Для этого найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), квадратное уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_2 = \frac{-(-15) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_3 = \frac{-(-15) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 8 \), \( x_3 = 7 \).

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 7, x₃ = 8.