Решите уравнение (3x+5)²= (2x−1)².

Привет, ученики! Давайте вместе решим это уравнение. У нас есть уравнение: \[(3x+5)^2 = (2x-1)^2\] Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться формулой разности квадратов или просто раскрыть скобки и упростить. Способ 1: Разность квадратов Перенесем все в левую часть: \[(3x+5)^2 - (2x-1)^2 = 0\] Воспользуемся формулой разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$: \[((3x+5) - (2x-1))((3x+5) + (2x-1)) = 0\] Упростим выражения в скобках: \[(3x + 5 - 2x + 1)(3x + 5 + 2x - 1) = 0\] \[(x + 6)(5x + 4) = 0\] Теперь у нас есть два случая: 1. $$x + 6 = 0$$, тогда $$x = -6$$ 2. $$5x + 4 = 0$$, тогда $$5x = -4$$, и $$x = -\frac{4}{5} = -0.8$$ Способ 2: Раскрытие скобок Раскроем скобки, используя формулу $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$: \[(3x)^2 + 2(3x)(5) + 5^2 = (2x)^2 - 2(2x)(1) + 1^2\] \[9x^2 + 30x + 25 = 4x^2 - 4x + 1\] Перенесем все в левую часть: \[9x^2 - 4x^2 + 30x + 4x + 25 - 1 = 0\] \[5x^2 + 34x + 24 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4(5)(24) = 1156 - 480 = 676$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 + \sqrt{676}}{10} = \frac{-34 + 26}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 - \sqrt{676}}{10} = \frac{-34 - 26}{10} = \frac{-60}{10} = -6$$ Оба способа дают одинаковые корни. Ответ: \[x_1 = -6, \quad x_2 = -0.8\] Объяснение для ученика: Мы решили уравнение двумя способами. Первый способ – это использование формулы разности квадратов, что позволило упростить уравнение до простых линейных. Второй способ – это раскрытие скобок и решение квадратного уравнения через дискриминант. Оба способа привели к одинаковым ответам. Важно уметь применять оба метода, так как в разных ситуациях один из них может оказаться проще. Финальный ответ: x = -6; x = -0.8