Решите уравнение: (x² – 14x + 45)² + (x² – 3x – 54)² = 0. В ответе укажите количество различных корней и через запятую без пробелов сами корни в порядке возрастания. Например: если уравнение имеет 2 корня x₁ = 3 и x₂ = 5, то в ответе указываем 2,3,5 если уравнение корней не имеет, то в ответе указываем 0

Question

Вопрос:

Решите уравнение: (x² – 14x + 45)² + (x² – 3x – 54)² = 0. В ответе укажите количество различных корней и через запятую без пробелов сами корни в порядке возрастания. Например: если уравнение имеет 2 корня x₁ = 3 и x₂ = 5, то в ответе указываем 2,3,5 если уравнение корней не имеет, то в ответе указываем 0

Ответ:

Accepted Answer

Решаем уравнение:

Краткое пояснение: Уравнение имеет вид суммы квадратов, равной нулю. Это возможно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Таким образом, задача сводится к решению системы двух квадратных уравнений.

Шаг 1: Приравниваем каждое слагаемое к нулю:
x² - 14x + 45 = 0
x² - 3x - 54 = 0
Шаг 2: Решаем первое уравнение (x² - 14x + 45 = 0).
Находим дискриминант: D = (-14)² - 4 * 1 * 45 = 196 - 180 = 16.
Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:
x₁ = (14 + \sqrt{16}) / 2 = (14 + 4) / 2 = 9
x₂ = (14 - \sqrt{16}) / 2 = (14 - 4) / 2 = 5
Шаг 3: Решаем второе уравнение (x² - 3x - 54 = 0).
Находим дискриминант: D = (-3)² - 4 * 1 * (-54) = 9 + 216 = 225.
Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:
x₃ = (3 + \sqrt{225}) / 2 = (3 + 15) / 2 = 9
x₄ = (3 - \sqrt{225}) / 2 = (3 - 15) / 2 = -6
Шаг 4: Определяем общие корни уравнений.
Общим корнем является x = 9. Другие корни: 5 и -6.
Шаг 5: Записываем различные корни в порядке возрастания: -6, 5, 9. Количество различных корней: 3.

Ответ: 3,-6,5,9