Решите уравнение \( \sqrt{x+5} = x-1 \).

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+5})^2 = (x-1)^2 \)
2. Раскроем скобки: \( x+5 = x^2 - 2x + 1 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 2x + 1 - x - 5 = 0 \)
4. Упростим: \( x^2 - 3x - 4 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
7. \( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
8. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение \( \sqrt{x+5} = x-1 \).
9. Для \( x_1 = 4 \): \( \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3 \) и \( 4-1 = 3 \). Равенство выполняется.
10. Для \( x_2 = -1 \): \( \sqrt{-1+5} = \sqrt{4} = 2 \) и \( -1-1 = -2 \). Равенство \( 2 = -2 \) не выполняется.

Ответ: x = 4.