Решите уравнение $$\sqrt{x+11}=x-1$$. В ответе запишите корни в порядке возрастания без пробелов и других знаков.

Решение:

Решим иррациональное уравнение \(\sqrt{x+11}=x-1\).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x+11})^2 = (x-1)^2 \]

\[ x+11 = x^2 - 2x + 1 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 2x + 1 - x - 11 = 0 \]

\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Проверим полученные корни в исходном уравнении \(\sqrt{x+11}=x-1\).

Для \(x = 5\):

\[ \sqrt{5+11} = \sqrt{16} = 4 \]

\[ 5-1 = 4 \]

\(4 = 4\), значит, \(x = 5\) — верный корень.

Для \(x = -2\):

\[ \sqrt{-2+11} = \sqrt{9} = 3 \]

\[ -2-1 = -3 \]

\(3 \neq -3\), значит, \(x = -2\) — посторонний корень.

В ответе нужно записать корни в порядке возрастания. У нас только один верный корень \(x=5\).

Ответ: 5.