Решите уравнение \(\sqrt{\sin x\cos x}=\cos x\). Укажите количество корней, принадлежащих отрезку \([0;2\pi]\).

Так как левая часть неотрицательна, необходимо, чтобы \(\cos x\ge 0\). Подкоренное выражение также должно быть неотрицательным.

Возведём обе части уравнения в квадрат, сохраняя условие \(\cos x\ge 0\):

\[\sin x\cos x=\cos^2 x,\qquad \cos x(\sin x-\cos x)=0.\]

Отсюда возможны случаи:

1. \(\cos x=0\), поэтому на отрезке \([0;2\pi]\) получаем \(x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.
2. \(\sin x=\cos x\), поэтому \(x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\). При \(x=\frac{\pi}{4}\) исходное уравнение выполняется. При \(x=\frac{5\pi}{4}\) правая часть отрицательна, поэтому это значение не подходит.

Ответ: 3 корня.