Решите уравнение \(\sqrt{6+5x} = x\). Если корней несколько, то в ответе запишите меньший корень.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left( \sqrt{6+5x} \right)^2 = x^2 \]\[ 6+5x = x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 5x - 6 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{5+7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{5-7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим корни:

Для \( x_1 = 6 \): \(\sqrt{6+5 \cdot 6} = \sqrt{6+30} = \sqrt{36} = 6\). \(6 = 6\). Верно.

Для \( x_2 = -1 \): \(\sqrt{6+5 \cdot (-1)} = \sqrt{6-5} = \sqrt{1} = 1\). \(1 \neq -1\). Этот корень посторонний.

Таким образом, единственным корнем уравнения является \( x = 6 \).

Ответ: 6