Решите уравнение \(\sqrt{3x+4} = x\). Если корней окажется несколько, в ответе запишите наименьший из них.

Решение:

Чтобы решить уравнение \(\sqrt{3x+4} = x\), нужно возвести обе части в квадрат.

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{3x+4})^2 = x^2 \), что даёт \( 3x+4 = x^2 \).
2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).
3. Найдём дискриминант квадратного уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \): \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).
4. Найдём корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
• \( x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
• \( x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
5. Проверим найденные корни в исходном уравнении \(\sqrt{3x+4} = x\).
• Для \( x_1 = 4 \): \(\sqrt{3 \cdot 4 + 4} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4 \). Правая часть равна \( x = 4 \). Значит, \( 4 = 4 \). Корень \( x_1 = 4 \) подходит.
• Для \( x_2 = -1 \): \(\sqrt{3 \cdot (-1) + 4} = \sqrt{-3+4} = \sqrt{1} = 1 \). Правая часть равна \( x = -1 \). Значит, \( 1 = -1 \). Это неверно. Корень \( x_2 = -1 \) не подходит.
6. Так как корней оказалось несколько (один из которых посторонний), мы должны выбрать наименьший из подходящих корней. В данном случае подходит только один корень, \( x = 4 \).

Ответ: 4