Решите уравнение \(\sqrt{3x^2 + 7x - 4} = -x\)

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ \left( \sqrt{3x^2 + 7x - 4} \right)^2 = (-x)^2 \]\[ 3x^2 + 7x - 4 = x^2 \]

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\[ 3x^2 - x^2 + 7x - 4 = 0 \]\[ 2x^2 + 7x - 4 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение, найдя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \]

Теперь проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение \( \sqrt{3x^2 + 7x - 4} = -x \).

Проверка для \( x_1 = 0.5 \):

Левая часть: \( \sqrt{3(0.5)^2 + 7(0.5) - 4} = \sqrt{3(0.25) + 3.5 - 4} = \sqrt{0.75 + 3.5 - 4} = \sqrt{4.25 - 4} = \sqrt{0.25} = 0.5 \)

Правая часть: \( -x = -0.5 \)

Так как \( 0.5 \) ≠ \( -0.5 \), корень \( x_1 = 0.5 \) не подходит.

Проверка для \( x_2 = -4 \):

Левая часть: \( \sqrt{3(-4)^2 + 7(-4) - 4} = \sqrt{3(16) - 28 - 4} = \sqrt{48 - 28 - 4} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4 \)

Правая часть: \( -x = -(-4) = 4 \)

Так как \( 4 = 4 \), корень \( x_2 = -4 \) подходит.

Ответ: -4.