1) Решите уравнение sin 2x = - sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение:

Пошаговое решение:

1) Решим уравнение sin 2x = - sin x.

• Воспользуемся формулой синуса двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x.
• Получаем: 2 sin x cos x = - sin x.
• Перенесем все в одну сторону: 2 sin x cos x + sin x = 0.
• Вынесем sin x за скобки: sin x (2 cos x + 1) = 0.

Теперь уравнение распадается на два случая:

1. sin x = 0 или
2. 2 cos x + 1 = 0.

Решим каждый из них:

1. sin x = 0
   x = πn, где n ∈ Z.
2. 2 cos x + 1 = 0
   cos x = -1/2
   x = ±2π/3 + 2πk, где k ∈ Z.

Общее решение уравнения:

x = πn, x = ±2π/3 + 2πk, где n, k ∈ Z.

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

1. Для x = πn:

• 3π/2 ≤ πn ≤ 3π
• 3/2 ≤ n ≤ 3

Так как n - целое число, то n = 2 или n = 3.

x₁ = 2π, x₂ = 3π.

2. Для x = 2π/3 + 2πk:

• 3π/2 ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 3π
• 3/2 ≤ 2/3 + 2k ≤ 3
• 9/6 ≤ 4/6 + 12k/6 ≤ 18/6
• 5/6 ≤ 2k ≤ 14/6
• 5/12 ≤ k ≤ 7/6

Так как k - целое число, то k = 1.

x₃ = 2π/3 + 2π = 8π/3.

3. Для x = -2π/3 + 2πk:

• 3π/2 ≤ -2π/3 + 2πk ≤ 3π
• 3/2 ≤ -2/3 + 2k ≤ 3
• 9/6 ≤ -4/6 + 12k/6 ≤ 18/6
• 13/6 ≤ 2k ≤ 22/6
• 13/12 ≤ k ≤ 11/6

Так как k - целое число, то k = 2.

x₄ = -2π/3 + 4π = 10π/3.

Получаем корни: 2π, 3π, 8π/3 и 10π/3.

Ответ: 2π, 3π, 8π/3, 10π/3