Решите уравнение \(\sin 5x+\sin x=2\cos 2x\) на отрезке \([0;\pi]\). Найдите количество корней, принадлежащих этому отрезку.

Используем формулу суммы синусов:

\[\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x.\]

Тогда уравнение принимает вид:

\[2\sin 3x\cos 2x=2\cos 2x,\]

\[2\cos 2x(\sin 3x-1)=0.\]

Следовательно, \(\cos 2x=0\) или \(\sin 3x=1\).

1) \(\cos 2x=0\):

\[2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}.\]

На отрезке \([0;\pi]\) получаем \(x=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\).

2) \(\sin 3x=1\):

\[3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}.\]

На отрезке \([0;\pi]\) получаем \(x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\).

Все найденные значения различны и удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 4 корня.