Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение уравнений, представленных на изображении:
I. Показательные уравнения
-
$$27^{1-x} = \frac{1}{81}$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 3:
$$(3^3)^{1-x} = 3^{-4}$$
$$3^{3-3x} = 3^{-4}$$
Следовательно:
$$3-3x = -4$$
$$3x = 7$$
$$x = \frac{7}{3}$$
$$x = 2\frac{1}{3}$$
Ответ: $$x = 2\frac{1}{3}$$
-
$$49^{x+1} = (\frac{1}{7})^x$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 7:
$$(7^2)^{x+1} = 7^{-x}$$
$$7^{2x+2} = 7^{-x}$$
Следовательно:
$$2x+2 = -x$$
$$3x = -2$$
$$x = -\frac{2}{3}$$
Ответ: $$x = -\frac{2}{3}$$
-
$$(\frac{1}{6})^{x+1} = 36^{x-1}$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 6:
$$6^{-(x+1)} = 6^{2(x-1)}$$
$$6^{-x-1} = 6^{2x-2}$$
Следовательно:
$$-x-1 = 2x-2$$
$$3x = 1$$
$$x = \frac{1}{3}$$
Ответ: $$x = \frac{1}{3}$$
-
$$4^{5x+1} = (\frac{1}{2})^{6-4x}$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 2:
$$(2^2)^{5x+1} = 2^{-(6-4x)}$$
$$2^{10x+2} = 2^{-6+4x}$$
Следовательно:
$$10x+2 = -6+4x$$
$$6x = -8$$
$$x = -\frac{4}{3}$$
$$x = -1\frac{1}{3}$$
Ответ: $$x = -1\frac{1}{3}$$
-
$$25^{1-3x} = \frac{1}{125}$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 5:
$$(5^2)^{1-3x} = 5^{-3}$$
$$5^{2-6x} = 5^{-3}$$
Следовательно:
$$2-6x = -3$$
$$6x = 5$$
$$x = \frac{5}{6}$$
Ответ: $$x = \frac{5}{6}$$
-
$$9^x = (\frac{1}{27})^{2-x}$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 3:
$$(3^2)^x = (3^{-3})^{2-x}$$
$$3^{2x} = 3^{-6+3x}$$
Следовательно:
$$2x = -6+3x$$
$$x = 6$$
Ответ: $$x = 6$$
-
$$16 \cdot 8^{2+3x} = 1$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 2:
$$2^4 \cdot (2^3)^{2+3x} = 1$$
$$2^4 \cdot 2^{6+9x} = 2^0$$
$$2^{10+9x} = 2^0$$
Следовательно:
$$10+9x = 0$$
$$9x = -10$$
$$x = -\frac{10}{9}$$
$$x = -1\frac{1}{9}$$
Ответ: $$x = -1\frac{1}{9}$$
-
$$36 \cdot 216^{3x+1} = 1$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 6:
$$6^2 \cdot (6^3)^{3x+1} = 1$$
$$6^2 \cdot 6^{9x+3} = 6^0$$
$$6^{5+9x} = 6^0$$
Следовательно:
$$5+9x = 0$$
$$9x = -5$$
$$x = -\frac{5}{9}$$
Ответ: $$x = -\frac{5}{9}$$
-
$$9 \cdot 81^{1-2x} = 27^{2-x}$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 3:
$$3^2 \cdot (3^4)^{1-2x} = (3^3)^{2-x}$$
$$3^2 \cdot 3^{4-8x} = 3^{6-3x}$$
$$3^{6-8x} = 3^{6-3x}$$
Следовательно:
$$6-8x = 6-3x$$
$$5x = 0$$
$$x = 0$$
Ответ: $$x = 0$$
-
$$16^{5-3x} = 0.125^{5x-6}$$
Преобразуем обе части уравнения к степени с основанием 2:
$$(2^4)^{5-3x} = (2^{-3})^{5x-6}$$
$$2^{20-12x} = 2^{-15x+18}$$
Следовательно:
$$20-12x = -15x+18$$
$$3x = -2$$
$$x = -\frac{2}{3}$$
Ответ: $$x = -\frac{2}{3}$$
II. Показательные уравнения (продолжение)
-
$$2^{7-5x} - (\frac{1}{8})^{2x+1} = 0$$
$$2^{7-5x} = (\frac{1}{8})^{2x+1}$$
$$2^{7-5x} = (2^{-3})^{2x+1}$$
$$2^{7-5x} = 2^{-6x-3}$$
$$7-5x = -6x-3$$
$$x = -10$$
Ответ: $$x = -10$$
-
$$2 \cdot 5^{x+2} - 10 \cdot 5^x = 8$$
$$2 \cdot 5^x \cdot 5^2 - 10 \cdot 5^x = 8$$
$$5^x(2 \cdot 25 - 10) = 8$$
$$5^x(50-10) = 8$$
$$5^x \cdot 40 = 8$$
$$5^x = \frac{8}{40}$$
$$5^x = \frac{1}{5}$$
$$5^x = 5^{-1}$$
$$x = -1$$
Ответ: $$x = -1$$
-
$$128 \cdot 16^{2x+1} = 8^{3-2x}$$
$$2^7 \cdot (2^4)^{2x+1} = (2^3)^{3-2x}$$
$$2^7 \cdot 2^{8x+4} = 2^{9-6x}$$
$$2^{7+8x+4} = 2^{9-6x}$$
$$2^{11+8x} = 2^{9-6x}$$
$$11+8x = 9-6x$$
$$14x = -2$$
$$x = -\frac{2}{14}$$
$$x = -\frac{1}{7}$$
Ответ: $$x = -\frac{1}{7}$$
-
$$243 \cdot (\frac{1}{81})^{3x-2} = 27^{x+3}$$
$$3^5 \cdot (3^{-4})^{3x-2} = (3^3)^{x+3}$$
$$3^5 \cdot 3^{-12x+8} = 3^{3x+9}$$
$$3^{5-12x+8} = 3^{3x+9}$$
$$3^{13-12x} = 3^{3x+9}$$
$$13-12x = 3x+9$$
$$15x = 4$$
$$x = \frac{4}{15}$$
Ответ: $$x = \frac{4}{15}$$
III. Логарифмические уравнения
-
$$\frac{1}{2} \log_2(3x-2) = 3$$
$$\log_2(3x-2) = 6$$
$$3x-2 = 2^6$$
$$3x-2 = 64$$
$$3x = 66$$
$$x = 22$$
Ответ: $$x = 22$$
-
$$\log_{0.5}(3x-1) = -3$$
$$3x-1 = (\frac{1}{2})^{-3}$$
$$3x-1 = 2^3$$
$$3x-1 = 8$$
$$3x = 9$$
$$x = 3$$
Ответ: $$x = 3$$
-
$$\log_2(2x-1) = 3$$
$$2x-1 = 2^3$$
$$2x-1 = 8$$
$$2x = 9$$
$$x = \frac{9}{2}$$
$$x = 4.5$$
Ответ: $$x = 4.5$$
-
$$\frac{1}{3}\log_3(2x+1) = 1$$
$$\log_3(2x+1) = 3$$
$$2x+1 = 3^3$$
$$2x+1 = 27$$
$$2x = 26$$
$$x = 13$$
Ответ: $$x = 13$$
IV. Логарифмические уравнения (продолжение)
- $$\log_2(2x+1) = \log_2 3 + 1$$
- $$\lg(4x-2) = 5 \lg 2 - 3$$
- $$- \log_7(5-x) = \log_7 2 - 1$$
- $$\log_2(7x-4) = 2 + \log_2 13$$
- $$\log_3(4-2x) - \log_3 2 = 2$$
- $$\lg(5x+2) = \frac{1}{2} \lg 36 + \lg 2$$
- $$\lg(x+3) = 3 + 2 \lg 5$$
- $$\log_{\frac{1}{2}} (2x-1) = \log_{\frac{1}{16}} 5$$
- $$\log_3(2x+1) = \log_3 13 + 1$$
