7. Решите уравнение log5 (7 - x) = log5(3 - x) + 1.

7. Решим уравнение $$log_5 (7 - x) = log_5(3 - x) + 1$$.

Преобразуем уравнение, представив 1 как логарифм по основанию 5:

$$log_5 (7 - x) = log_5(3 - x) + log_5 5$$

Применим свойство логарифмов $$log_ba + log_bc = log_b(a \cdot c)$$.

$$log_5 (7 - x) = log_5 (5(3 - x))$$

Так как логарифмы по основанию 5 равны, то можно приравнять аргументы:

$$7 - x = 5(3 - x)$$

$$7 - x = 15 - 5x$$

$$5x - x = 15 - 7$$

$$4x = 8$$

$$x = 2$$

Проверим, входит ли найденное значение в область определения логарифма. Для этого нужно, чтобы выражения под логарифмом были положительными:

$$7 - x > 0$$

$$7 - 2 > 0$$

$$5 > 0$$

$$3 - x > 0$$

$$3 - 2 > 0$$

$$1 > 0$$

Условие выполняется, значит, корень найден верно.

Ответ: 2