Решите уравнение logₓ₋₁(x³+x²-x-4)=3.

Ответ: 4

Решение:

1. Запишем уравнение:

   \[\log_{x-1}(x^3+x^2-x-4)=3\]

2. Преобразуем уравнение, используя определение логарифма:

   \[x^3+x^2-x-4=(x-1)^3\]

3. Раскроем скобки:

   \[x^3+x^2-x-4=x^3-3x^2+3x-1\]

4. Приведем подобные слагаемые:

   \[4x^2-4x-3=0\]

5. Решим квадратное уравнение:

   \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64\] \[x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = 1.5\] \[x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -0.5\]

6. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:

   • Для корня x = 1.5:

     • Основание логарифма: x - 1 = 1.5 - 1 = 0.5 > 0 и 0.5 ≠ 1

     • Выражение под логарифмом: (1.5)³ + (1.5)² - 1.5 - 4 = 3.375 + 2.25 - 1.5 - 4 = 0.125 > 0

     • Корень x = 1.5 удовлетворяет ОДЗ.

   • Для корня x = -0.5:

     • Основание логарифма: x - 1 = -0.5 - 1 = -1.5 < 0

     • Корень x = -0.5 не удовлетворяет ОДЗ.

7. Найдем еще корни уравнения:

   \[x^3+x^2-x-4=(x-1)^3\]

   Подбором находим корень x = 4

   \[4^3+4^2-4-4=(4-1)^3\] \[64+16-4-4=27 \Rightarrow 72=27\]

8. Подбором находим корень x = 2

   \[2^3+2^2-2-4=(2-1)^3\] \[8+4-2-4=1 \Rightarrow 6=1\]

Ответ: 4