578. Решите уравнение, используя введение новой переменной: a) (x² + 4x)² - (x + 2)² = 416; б) (x²-2x)² + (x − 1)² = 73; в) (x² + 6x)² - 4(x + 3)² = 156; г) 3(x² + 2x)² = 35(x + 1)² + 115.

Решение:

а) (x² + 4x)² - (x + 2)² = 416

Заметим, что x² + 4x = (x + 2)² - 4

Тогда уравнение можно переписать как:

((x + 2)² - 4)² - (x + 2)² = 416

Пусть y = (x + 2)²

(y - 4)² - y = 416

y² - 8y + 16 - y = 416

y² - 9y - 400 = 0

D = (-9)² - 4 * 1 * (-400) = 81 + 1600 = 1681 = 41²

y₁ = (9 + 41) / 2 = 50 / 2 = 25

y₂ = (9 - 41) / 2 = -32 / 2 = -16

Следовательно, (x + 2)² = 25 или (x + 2)² = -16

Первый случай: (x + 2)² = 25

x + 2 = 5 или x + 2 = -5

x = 3 или x = -7

Второй случай: (x + 2)² = -16

Этот случай не имеет решений в действительных числах, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = 3, x = -7

б) (x²-2x)² + (x − 1)² = 73

Заметим, что x² - 2x = (x - 1)² - 1

Тогда уравнение можно переписать как:

((x - 1)² - 1)² + (x - 1)² = 73

Пусть y = (x - 1)²

(y - 1)² + y = 73

y² - 2y + 1 + y = 73

y² - y - 72 = 0

D = (-1)² - 4 * 1 * (-72) = 1 + 288 = 289 = 17²

y₁ = (1 + 17) / 2 = 18 / 2 = 9

y₂ = (1 - 17) / 2 = -16 / 2 = -8

Следовательно, (x - 1)² = 9 или (x - 1)² = -8

Первый случай: (x - 1)² = 9

x - 1 = 3 или x - 1 = -3

x = 4 или x = -2

Второй случай: (x - 1)² = -8

Этот случай не имеет решений в действительных числах, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = 4, x = -2

в) (x² + 6x)² - 4(x + 3)² = 156

Заметим, что x² + 6x = (x + 3)² - 9

Тогда уравнение можно переписать как:

((x + 3)² - 9)² - 4(x + 3)² = 156

Пусть y = (x + 3)²

(y - 9)² - 4y = 156

y² - 18y + 81 - 4y = 156

y² - 22y - 75 = 0

D = (-22)² - 4 * 1 * (-75) = 484 + 300 = 784 = 28²

y₁ = (22 + 28) / 2 = 50 / 2 = 25

y₂ = (22 - 28) / 2 = -6 / 2 = -3

Следовательно, (x + 3)² = 25 или (x + 3)² = -3

Первый случай: (x + 3)² = 25

x + 3 = 5 или x + 3 = -5

x = 2 или x = -8

Второй случай: (x + 3)² = -3

Этот случай не имеет решений в действительных числах, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = 2, x = -8

г) 3(x² + 2x)² = 35(x + 1)² + 115

Заметим, что x² + 2x = (x + 1)² - 1

Тогда уравнение можно переписать как:

3((x + 1)² - 1)² = 35(x + 1)² + 115

Пусть y = (x + 1)²

3(y - 1)² = 35y + 115

3(y² - 2y + 1) = 35y + 115

3y² - 6y + 3 = 35y + 115

3y² - 41y - 112 = 0

D = (-41)² - 4 * 3 * (-112) = 1681 + 1344 = 3025 = 55²

y₁ = (41 + 55) / 6 = 96 / 6 = 16

y₂ = (41 - 55) / 6 = -14 / 6 = -7/3

Следовательно, (x + 1)² = 16 или (x + 1)² = -7/3

Первый случай: (x + 1)² = 16

x + 1 = 4 или x + 1 = -4

x = 3 или x = -5

Второй случай: (x + 1)² = -7/3

Этот случай не имеет решений в действительных числах, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = 3, x = -5