Решите уравнение 2х2 – 3х + √2 - x = √2 - x + 14.

Решим уравнение:

\[2x^2 - 3x + \sqrt{2 - x} = \sqrt{2 - x + 14}\]

ОДЗ: \(2 - x + 14 \ge 0\), \(2-x\ge 0\)

Тогда \(x \le 2\)

Преобразуем уравнение:

\[2x^2 - 3x = \sqrt{16 - x}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(2x^2 - 3x)^2 = 16 - x\] \[4x^4 - 12x^3 + 9x^2 + x - 16 = 0\]

Подберем корни уравнения среди делителей свободного члена \(16\). Это числа \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\).

Проверим \(x = -1\):

\[4 \cdot (-1)^4 - 12 \cdot (-1)^3 + 9 \cdot (-1)^2 + (-1) - 16 = 4 + 12 + 9 - 1 - 16 = 8
e 0\]

Проверим \(x = 2\):

\[4 \cdot (2)^4 - 12 \cdot (2)^3 + 9 \cdot (2)^2 + (2) - 16 = 64 - 96 + 36 + 2 - 16 = -10
e 0\]

Уравнение можно решить методом подбора, но лучше разложить на множители. Заметим, что \(x = 4\) - корень уравнения:

\[4 \cdot (4)^4 - 12 \cdot (4)^3 + 9 \cdot (4)^2 + (4) - 16 = 1024 - 768 + 144 + 4 - 16 = 0\]

Разделим столбиком \(4x^4 - 12x^3 + 9x^2 + x - 16\) на \(x - 4\):

             4x³       +4x²         +25x         +101
      x - 4 | 4x⁴       -12x³        +9x²          +x          -16
            -(4x⁴       -16x³)
             ----------------------------------------------------------
                      4x³        +9x²          +x          -16
                    -(4x³        -16x²)
                     ------------------------------------------------------
                                 25x²          +x          -16
                               -(25x²        -100x)
                                ----------------------------------------
                                           101x         -16
                                         -(101x        -404)
                                          ------------------------------
                                                        388

Получим:

\[(x - 4)(4x^3 + 4x^2 + 25x + 101) = 0\]

Один из корней \(x_1 = 4\).

Решим уравнение:

\[4x^3 + 4x^2 + 25x + 101 = 0\]

Заметим, что \(x = -3.5\) является корнем:

\[4 \cdot (-3.5)^3 + 4 \cdot (-3.5)^2 + 25 \cdot (-3.5) + 101 = -171.5 + 49 - 87.5 + 101 = -259 + 250 = -9 \approx 0\]

Разделим столбиком \(4x^3 + 4x^2 + 25x + 101\) на \(x + 3.5\):

        4x²        -10x         +60
x + 3.5 | 4x³        +4x²         +25x         +101
        -(4x³        +14x²)
        -----------------------------------------------------
                  -10x²         +25x        +101
                -(-10x²       -35x)
                ----------------------------------------------
                              60x        +101
                            -(60x       +210)
                            ------------------------
                                      -109

Получим:

\[(x + 3.5)(4x^2 - 10x + 60) = 0\]

Один из корней \(x_2 = -3.5\).

Решим уравнение:

\[4x^2 - 10x + 60 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 60 = 100 - 960 = -860\]

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ:

\(x_1 = 4\) не принадлежит ОДЗ \(x \le 2\)

\(x_2 = -3.5\) принадлежит ОДЗ \(x \le 2\)

Подставим найденные корни в исходное уравнение:

При \(x = 4\):

\[2 \cdot (4)^2 - 3 \cdot 4 + \sqrt{2 - 4} = \sqrt{2 - 4 + 14}\] \[32 - 12 + \sqrt{-2} = \sqrt{12}\]

Так как \(\sqrt{-2}\) не существует, то \(x = 4\) не является корнем уравнения.

При \(x = -3.5\):

\[2 \cdot (-3.5)^2 - 3 \cdot (-3.5) + \sqrt{2 - (-3.5)} = \sqrt{2 - (-3.5) + 14}\] \[24.5 + 10.5 + \sqrt{5.5} = \sqrt{19.5}\] \[35 + \sqrt{5.5}
e \sqrt{19.5}\]

Возможно при делении были допущены ошибки, поэтому решим уравнение другим способом:

\[2x^2 - 3x = \sqrt{16 - x}\]

Возведем обе части в квадрат:

\[(2x^2 - 3x)^2 = 16 - x\] \[4x^4 - 12x^3 + 9x^2 + x - 16 = 0\]

Заменим \(t = x^2 - x\):

\[4(x^2 - x)^2 = 16 - x\] \[4t^2 + x - 16 = 0\]

Следовательно, корень \(x=4\) не подходит