Решите уравнение (х – 4)4 – 4(x - 4)² - 21 = 0.

Решение:

Пусть \(t = (x - 4)^2\), тогда уравнение примет вид:

\[t^2 - 4t - 21 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно t:

Найдем дискриминант:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

\[t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = 7\] \[t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = -3\]

Теперь вернемся к замене и решим два уравнения:

1. \[(x - 4)^2 = 7\]

   Извлечем квадратный корень из обеих частей:

   \[x - 4 = \pm \sqrt{7}\]

   Выразим x:

   \[x = 4 \pm \sqrt{7}\]

   Итак, у нас два решения: \(x_1 = 4 + \sqrt{7}\) и \(x_2 = 4 - \sqrt{7}\)

2. \[(x - 4)^2 = -3\]

   Квадрат не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: \(x_1 = 4 + \sqrt{7}\), \(x_2 = 4 - \sqrt{7}\)