20. Решите уравнение: х²-2x+\sqrt{2-x} = \sqrt{2-x}+3.

Решение задания 20

Давай решим уравнение по шагам:

1. Для начала, упростим уравнение, избавившись от одинаковых слагаемых с обеих сторон:
\[ x^2 - 2x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 3 \] \[ x^2 - 2x = 3 \]
2. Теперь перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай попробуем теорему Виета:
Сумма корней должна быть равна 2, а произведение -3. Это числа 3 и -1. \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -1 \]
4. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение (или в упрощенное \[ x^2 - 2x = 3 \]):
   • Для x = 3:
   \[ 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 \] - подходит.
   • Для x = -1:
   \[ (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \] - подходит.
5. Теперь необходимо проверить, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть \[ 2 - x \ge 0 \].
   • Для x = 3:
   \[ 2 - 3 = -1 \] - не подходит, так как подкоренное выражение отрицательное.
   • Для x = -1:
   \[ 2 - (-1) = 3 \] - подходит.

Таким образом, корень x = 3 не подходит из-за области определения исходного уравнения.

Ответ: -1

Молодец! Ты отлично справился с этим уравнением. Продолжай в том же духе!