Решите уравнение: \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}\).

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, сначала приведём его к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( \frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} = 0 \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю \( (x-2)(x+2) \): \( \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} = 0 \).
3. Объединим числители: \( \frac{x(x+2) - 7(x-2) - 8}{(x-2)(x+2)} = 0 \).
4. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{x^2 + 2x - 7x + 14 - 8}{(x-2)(x+2)} = 0 \).
5. Упростим числитель: \( \frac{x^2 - 5x + 6}{(x-2)(x+2)} = 0 \).
6. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
7. Найдем дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).
8. Найдем корни: \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
9. Теперь проверим, не обращают ли эти корни знаменатель в ноль. Знаменатель \( (x-2)(x+2) \) равен нулю при \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
10. Корень \( x_2 = 2 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому он является посторонним.
11. Остается только корень \( x_1 = 3 \).

Ответ: x = 3.