Решите уравнение: \(\frac{x+22}{23x-20} = \frac{x+22}{20x-23}\). Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них.

Решение:

Дано уравнение: \(\frac{x+22}{23x-20} = \frac{x+22}{20x-23}\)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\[ \frac{x+22}{23x-20} - \frac{x+22}{20x-23} = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x+22) \) за скобки:

\[ (x+22) \left( \frac{1}{23x-20} - \frac{1}{20x-23} \right) = 0 \]

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( x+22 = 0 \)

2. \( \frac{1}{23x-20} - \frac{1}{20x-23} = 0 \)

Решим первое уравнение:

\[ x+22 = 0 \]

\[ x = -22 \]

Решим второе уравнение:

\[ \frac{1}{23x-20} = \frac{1}{20x-23} \]

Приравняем знаменатели (при условии, что они не равны нулю):

\[ 23x-20 = 20x-23 \]

\[ 23x - 20x = -23 + 20 \]

\[ 3x = -3 \]

\[ x = -1 \]

Проверим, не обращают ли найденные корни знаменатели в ноль:

Для \( x = -22 \):

\[ 23(-22) - 20 = -506 - 20 = -526 \neq 0 \]

\[ 20(-22) - 23 = -440 - 23 = -463 \neq 0 \]

Для \( x = -1 \):

\[ 23(-1) - 20 = -23 - 20 = -43 \neq 0 \]

\[ 20(-1) - 23 = -20 - 23 = -43 \neq 0 \]

Оба корня подходят.

Уравнение имеет два корня: \( -22 \) и \( -1 \).

Согласно условию, нужно указать меньший из них.

Сравниваем \( -22 \) и \( -1 \). Меньшим является \( -22 \).

Ответ: -22