Решите уравнение: $$\frac{5}{x-3} - \frac{32}{x+4} = 1$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение уравнения:

Для решения данного уравнения, нам нужно привести его к общему знаменателю и преобразовать в квадратное уравнение.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель для дробей $$\frac{5}{x-3}$$ и $$\frac{32}{x+4}$$ будет $$(x-3)(x+4)$$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$$5(x+4) - 32(x-3) = 1 \cdot (x-3)(x+4)$$

Шаг 2: Раскрытие скобок и упрощение

Раскроем скобки:

$$5x + 20 - 32x + 96 = x^2 + 4x - 3x - 12$$

Объединим подобные члены:

$$-27x + 116 = x^2 + x - 12$$

Шаг 3: Приведение к стандартному виду квадратного уравнения

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $$ax^2 + bx + c = 0$$:

$$x^2 + x - 12 + 27x - 116 = 0$$

$$x^2 + 28x - 128 = 0$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Найдем корни квадратного уравнения, используя дискриминант ($$D = b^2 - 4ac$$) или теорему Виета. В данном случае, $$a=1$$, $$b=28$$, $$c=-128$$.

Дискриминант:

$$D = 28^2 - 4 1 (-128) = 784 + 512 = 1296$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$$

Найдем корни по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:

$$x_1 = \frac{-28 + 36}{2 1} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-28 - 36}{2 1} = \frac{-64}{2} = -32$$

Шаг 5: Проверка корней

Убедимся, что знаменатели не равны нулю при найденных значениях $$x$$. Если $$x=4$$, то $$x-3 = 1 \neq 0$$ и $$x+4 = 8 \neq 0$$. Если $$x=-32$$, то $$x-3 = -35 \neq 0$$ и $$x+4 = -28 \neq 0$$. Оба корня допустимы.

Шаг 6: Выбор большего корня

В задании сказано, что если уравнение имеет более одного корня, нужно указать больший из них. Сравнивая $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = -32$$, видим, что $$4 > -32$$.

Ответ: 4