Решите уравнение: \(\frac{3}{(x - 4)^2} - \frac{4}{x - 4} + 1 = 0.\)

Решение:

Данное уравнение является рациональным. Для его решения введём замену переменной. Пусть \( y = \frac{1}{x - 4} \). Тогда \( y^2 = \frac{1}{(x - 4)^2} \).

Подставим замену в исходное уравнение:

\[ 3y^2 - 4y + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его, найдя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернёмся к переменной \( x \), используя найденные значения \( y \).

Случай 1: \( y = 1 \)

\[ \frac{1}{x - 4} = 1 \]\[ 1 = 1 \cdot (x - 4) \]\[ 1 = x - 4 \]\[ x = 1 + 4 \]\[ x = 5 \]

Случай 2: \( y = \frac{1}{3} \)

\[ \frac{1}{x - 4} = \frac{1}{3} \]\[ 1 \cdot 3 = 1 \cdot (x - 4) \]\[ 3 = x - 4 \]\[ x = 3 + 4 \]\[ x = 7 \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x = 5 \) и \( x = 7 \). Оба корня допустимы, так как знаменатель \( x - 4 \) не равен нулю при \( x = 5 \) (5 - 4 = 1 \(\neq\) 0) и \( x = 7 \) (7 - 4 = 3 \(\neq\) 0).

Сколько корней имеет уравнение?

Уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их произведение.

Произведение корней равно \( 5 \cdot 7 = 35 \).

Ответ: 35