Решите уравнение: \(\frac{3}{x-1} - \frac{8}{x+2} = 1.\) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю \( (x-1)(x+2) \), учитывая, что \( x \neq 1 \) и \( x \neq -2 \).
2. \( \frac{3(x+2)}{(x-1)(x+2)} - \frac{8(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} \)
3. Умножим обе части на \( (x-1)(x+2) \):
4. \( 3(x+2) - 8(x-1) = (x-1)(x+2) \)
5. Раскроем скобки:
6. \( 3x + 6 - 8x + 8 = x^2 + 2x - x - 2 \)
7. Приведём подобные члены:
8. \( -5x + 14 = x^2 + x - 2 \)
9. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
10. \( x^2 + x - 2 + 5x - 14 = 0 \)
11. \( x^2 + 6x - 16 = 0 \)
12. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
13. \( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \)
14. \( \sqrt{D} = 10 \)
15. Найдем корни:
16. \( x_1 = \frac{-6 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)
17. \( x_2 = \frac{-6 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \)
18. Проверим, не равны ли корни \( 1 \) или \( -2 \). Оба корня допустимы.
19. Так как уравнение имеет два корня, выберем меньший из них.

Ответ: -8