Решите уравнение \(\frac{2x - 9}{x - 3} - \frac{x - 1}{x + 3} = 0\). Сколько решений имеет уравнение? Найдите произведение решений данного уравнения.

Давай решим это уравнение вместе! Оно выглядит немного страшно, но на самом деле всё проще, чем кажется.

1. Приводим к общему знаменателю:

   Чтобы вычесть дроби, нам нужен общий знаменатель. Это будет произведение двух знаменателей: $$(x - 3)(x + 3)$$.

   Умножаем первую дробь на $$(x + 3)$$ и вторую на $$(x - 3)$$, чтобы числители стали:

   $$ (2x - 9)(x + 3) - (x - 1)(x - 3) = 0 $$

2. Раскрываем скобки:

   Теперь раскрываем скобки в числителе, как будто решаем обычное квадратное уравнение:

   $$ (2x^2 + 6x - 9x - 27) - (x^2 - 3x - x + 3) = 0 $$

   $$ (2x^2 - 3x - 27) - (x^2 - 4x + 3) = 0 $$

3. Упрощаем выражение:

   Убираем скобки, не забывая менять знаки там, где стоит минус перед второй скобкой:

   $$ 2x^2 - 3x - 27 - x^2 + 4x - 3 = 0 $$

   Приводим подобные члены:

   $$ x^2 + x - 30 = 0 $$

4. Находим корни уравнения:

   Это обычное квадратное уравнение. Его можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Давай воспользуемся дискриминантом:

   $$ D = b^2 - 4ac $$

   Где $$a = 1$$, $$b = 1$$, $$c = -30$$

   $$ D = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 $$

   $$ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 $$

   Теперь находим сами корни:

   $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 11}{2(1)} = \frac{10}{2} = 5 $$

   $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 11}{2(1)} = \frac{-12}{2} = -6 $$

5. Проверяем знаменатели:

   Очень важный шаг! Нам нужно убедиться, что наши корни не делают знаменатели равными нулю. Знаменатели у нас $$(x - 3)$$ и $$(x + 3)$$.

   Если $$(x = 5)$$, то $$(x - 3) = (5 - 3) = 2
   eq 0$$ и $$(x + 3) = (5 + 3) = 8
   eq 0$$. Всё хорошо!

   Если $$(x = -6)$$, то $$(x - 3) = (-6 - 3) = -9
   eq 0$$ и $$(x + 3) = (-6 + 3) = -3
   eq 0$$. Тоже всё отлично!

   Значит, оба корня подходят.

6. Сколько решений?

   Так как мы нашли два различных корня ($$x_1 = 5$$ и $$x_2 = -6$$), то уравнение имеет два решения.

7. Произведение решений:

   Теперь умножим найденные корни:

   $$ 5 \times (-6) = -30 $$

Ответ: 2

Ответ: -30