Решите уравнение: \(\frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1.\)

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Прежде всего, найдём область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения \(x\), при которых знаменатели обращаются в ноль.

Знаменатели: \(x-2\), \(x+3\), \(x^2+x-6\).

Разложим последний знаменатель на множители: \(x^2+x-6 = (x-2)(x+3)\).

Значит, ОДЗ: \(x \neq 2\) и \(x \neq -3\).

Приведём уравнение к общему знаменателю \((x-2)(x+3)\):

\[ \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+3)} - \frac{10(x-2)}{(x+3)(x-2)} = \frac{50}{(x-2)(x+3)} - 1 \]

Умножим обе части уравнения на \((x-2)(x+3)\) для устранения знаменателей:

\[ 2(x+3) - 10(x-2) = 50 - 1(x-2)(x+3) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x + 6 - 10x + 20 = 50 - (x^2 + 3x - 2x - 6) \]

Упростим левую часть:

\[ -8x + 26 = 50 - (x^2 + x - 6) \]

Раскроем скобки в правой части:

\[ -8x + 26 = 50 - x^2 - x + 6 \]

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\):

\[ x^2 + 8x - x - 26 + 50 + 6 = 0 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ x^2 + 7x + 30 = 0 \]

Теперь найдём дискриминант для этого квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 49 - 120 = -71 \]

Так как дискриминант \(D < 0\), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Проверка условия: Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. В нашем случае действительных корней нет, значит, таких значений \(x\) нет.

Ответ: действительных корней нет.