Решите уравнение: \(\frac{2}{x^2 + 10x + 25} + \frac{10}{x^2 - 25} = \frac{1}{x - 5}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. Если уравнение не имеет корней, оставьте поле ответа пустым.

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:

• \( x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \)
• \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \)

Общий знаменатель: \( (x + 5)^2(x - 5) \).

Запишем уравнение с общим знаменателем:

\[ \frac{2(x - 5)}{(x + 5)^2(x - 5)} + \frac{10(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)^2} = \frac{1(x + 5)^2}{(x - 5)(x + 5)^2} \]

Уравнение имеет смысл при \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Теперь решим уравнение, приравняв числители:

\[ 2(x - 5) + 10(x + 5) = (x + 5)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 2x - 10 + 10x + 50 = x^2 + 10x + 25 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 12x + 40 = x^2 + 10x + 25 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 10x + 25 - 12x - 40 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 - 2x - 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( a = 1, b = -2, c = -15 \)

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Проверим корни на допустимость. Мы знаем, что \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Корень \( x_1 = 5 \) не является допустимым, так как знаменатель обращается в ноль.

Корень \( x_2 = -3 \) является допустимым.

Так как уравнение имеет только один допустимый корень, указываем его.

Ответ: -3