Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0.\)

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения приведём все члены к общему знаменателю \( x^2 \).

1. Умножим каждый член уравнения на \( x^2 \), чтобы избавиться от знаменателей. При этом необходимо учесть, что \( x \neq 0 \).
   \( x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + x^2 \cdot \frac{4}{x} - 12 \cdot x^2 = 0 \cdot x^2 \)
2. Упростим полученное выражение:
   \( 1 + 4x - 12x^2 = 0 \)
3. Запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
   \( -12x^2 + 4x + 1 = 0 \)
   Умножим на -1 для удобства:
   \( 12x^2 - 4x - 1 = 0 \)
4. Определим коэффициенты квадратного уравнения: \( a = 12 \), \( b = -4 \), \( c = -1 \).
5. Найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):
   \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
7. Найдём корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
   \( x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)
   \( x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} \)
8. Проверим, что найденные корни не равны нулю. Оба корня \( \frac{1}{2} \) и \( -\frac{1}{6} \) не равны нулю.

Ответ: x₁ = \(\frac{1}{2}\), x₂ = -\(\frac{1}{6}\).