Решите уравнение \(-\dfrac{\sin 2x}{\cos(\frac{\pi}{2}+x)}=\sqrt3\). В ответ укажите сумму двух наименьших положительных корней, делённую на \(\pi\).

Область допустимых значений: \(\cos(\frac{\pi}{2}+x)\ne 0\), то есть \(\sin x\ne 0\).

Используем тождество \(\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x\) и формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\[-\frac{\sin 2x}{\cos(\frac{\pi}{2}+x)}=-\frac{2\sin x\cos x}{-\sin x}=2\cos x.\]

Тогда \(2\cos x=\sqrt3\), откуда \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\). С учётом периода косинуса корни: \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6}\), где \(k\in\mathbb Z\). Два наименьших положительных корня: \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{11\pi}{6}\).

Их сумма, делённая на \(\pi\): \[\frac{\frac{\pi}{6}+\frac{11\pi}{6}}{\pi}=2.\]

Ответ: 2.