Решите уравнение cos (3π/2 + 2x) = cos x

Решение:

Воспользуемся формулой приведения для косинуса: \( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) \). В нашем случае \( \alpha = 2x \).

Уравнение принимает вид:

\[ \sin(2x) = \cos(x) \]\[ \sin(2x) - \cos(x) = 0 \]

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0 \]

Вынесем \( \cos(x) \) за скобки:

\[ \cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разобьем на два случая:

1. \( \cos(x) = 0 \)

Это означает, что \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( 2\sin(x) - 1 = 0 \)

Тогда \( 2\sin(x) = 1 \), и \( \sin(x) = \frac{1}{2} \).

Это означает, что \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi m = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( n, m \in \mathbb{Z} \).

Объединяя все решения, получаем:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad k, n, m \in \mathbb{Z} \]

Запишем ответ в виде множества:

\[ \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi k, \; \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \; \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \; \middle| \; k, n, m \in \mathbb{Z} \right\} \]

Это соответствует первому варианту ответа.

Ответ: \( \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi k, \; \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \; \middle| \; k \in \mathbb{Z} \right\} \).