Решите уравнение 8cos²x – 2cosx – 3 = 0. (2 балла)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Сделаем замену переменной. Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение примет вид:
   \[8t^2 - 2t - 3 = 0\]
2. Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно \(t\).
   Найдем дискриминант:
   \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100\]
   Тогда корни уравнения:
   \[t_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 10}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\]
   \[t_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 10}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}\]
3. Шаг 3: Вернемся к исходной переменной и решим два тригонометрических уравнения:
   а) \(\cos x = \frac{3}{4}\)
   \[x = \pm \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
   б) \(\cos x = -\frac{1}{2}\)
   \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \[x = \pm \arccos\frac{3}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};\] \[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.\]