1. Решите уравнение. 9(108+0,56) 0,25-2 a) 75 = 5x 625 33 124 6) (x + 1)(2x + 3)(x-1) = (x + 2)(x + 1)(2x - 1) 5x2-7x+2 (4x-5)2 B) = 4x2+x-5 16x2-25 2. Найдите значение выражения. a) (√15+√3)(√60-√12-√45+3) 2-√3 6) (√21-2)√25 + 2√84 3. Вычислите. 219273+15.49.94 69210+1210 18 4. Упростите выражение и найдите его значение при а=-- 35 4 2 1 2a-1 ( - - ): a²+a 1-a2 a2-aa² + a 5. Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 3 км/ч большей, чем скорость второго и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте к км/ч. 6. Решите неравенство и найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству. 2x+1 3x-1 3 - 2 > 1 7. При каких значениях параметра к уравнение имеет единственный корень? (k-2)x² + 2(k-1)x + k = 0 8. В равнобедренной трапеции диагональ делит тупой угол пополам. Найдите большее основание трапеции, если его длина на 31 меньше периметра трапеции, а средняя линия равна 10. 9. В треугольнике стороны равны 4; √11; 3√3. Найдите высоту, проведенную к большей стороне. 10. В параллелограмме ABCD на продолжении стороны DC взята точка М так, что DM=4DC. (точка С лежит между D и М). К точка пересечения прямых АМ и ВС. Найдите площадь треугольника АВК, если площадь параллелограмма равна 16.

Ответ: Решение ниже

1. Решите уравнение.

a)

Сначала упростим выражение:

\[\frac{9(\frac{108}{75}+0.56)}{5x} = \frac{0.25-\frac{2}{625}}{\frac{33}{124} \cdot \frac{2}{9}}\]

\[\frac{9(\frac{108}{75}+\frac{56}{100})}{5x} = \frac{\frac{1}{4}-\frac{2}{625}}{\frac{33}{124} \cdot \frac{2}{9}}\]

\[\frac{9(\frac{36}{25}+\frac{14}{25})}{5x} = \frac{\frac{625-8}{2500}}{\frac{33}{124} \cdot \frac{2}{9}}\]

\[\frac{9(\frac{50}{25})}{5x} = \frac{\frac{617}{2500}}{\frac{33}{124} \cdot \frac{2}{9}}\]

\[\frac{9 \cdot 2}{5x} = \frac{\frac{617}{2500}}{\frac{33}{124} \cdot \frac{2}{9}}\]

\[\frac{18}{5x} = \frac{\frac{617}{2500}}{\frac{33}{62 \cdot 9}}\]

\[\frac{18}{5x} = \frac{617}{2500} \cdot \frac{62 \cdot 9}{33}\]

\[\frac{18}{5x} = \frac{617}{2500} \cdot \frac{62 \cdot 3}{11}\]

\[\frac{18}{5x} = \frac{617 \cdot 62 \cdot 3}{2500 \cdot 11}\]

\[\frac{18}{5x} = \frac{114858}{27500}\]

\[x = \frac{18 \cdot 27500}{5 \cdot 114858}\]

\[x = \frac{495000}{574290}\]

\[x = \frac{49500}{57429}\]

Ответ: \(x = \frac{49500}{57429}\)

б)

(x + 1)(2x + 3)(x - 1) = (x + 2)(x + 1)(2x - 1)

Разделим обе части на (x+1), при условии, что x ≠ -1:

(2x + 3)(x - 1) = (x + 2)(2x - 1)

2x² + 3x - 2x - 3 = 2x² - x + 4x - 2

2x² + x - 3 = 2x² + 3x - 2

x - 3 = 3x - 2

-2x = 1

x = -0.5

Ответ: x = -0.5

в)

\[\frac{5x^2-7x+2}{4x^2+x-5} = \frac{(4x-5)^2}{16x^2-25}\]

\[\frac{5x^2-7x+2}{4x^2+x-5} = \frac{(4x-5)^2}{(4x-5)(4x+5)}\]

\[\frac{5x^2-7x+2}{4x^2+x-5} = \frac{4x-5}{4x+5}\]

Разложим числитель и знаменатель левой части на множители:

5x² - 7x + 2 = 0

D = 49 - 4 * 5 * 2 = 49 - 40 = 9

x₁ = (7 + 3) / 10 = 1

x₂ = (7 - 3) / 10 = 0.4

5x² - 7x + 2 = 5(x - 1)(x - 0.4)

4x² + x - 5 = 0

D = 1 + 4 * 4 * 5 = 81

x₁ = (-1 + 9) / 8 = 1

x₂ = (-1 - 9) / 8 = -1.25

4x² + x - 5 = 4(x - 1)(x + 1.25)

\[\frac{5(x - 1)(x - 0.4)}{4(x - 1)(x + 1.25)} = \frac{4x-5}{4x+5}\]

При x ≠ 1:

\[\frac{5(x - 0.4)}{4(x + 1.25)} = \frac{4x-5}{4x+5}\]

5(x - 0.4)(4x + 5) = (4x - 5) * 4(x + 1.25)

5(4x² + 5x - 1.6x - 2) = (4x - 5)(4x + 5)

5(4x² + 3.4x - 2) = 16x² - 25

20x² + 17x - 10 = 16x² - 25

4x² + 17x + 15 = 0

D = 289 - 4 * 4 * 15 = 289 - 240 = 49

x₁ = (-17 + 7) / 8 = -1.25

x₂ = (-17 - 7) / 8 = -3

Проверим корни:

x = -1.25 не подходит, т.к. обращает знаменатель в 0.

Ответ: x = -3

2. Найдите значение выражения.

a)

\[\frac{(\sqrt{15}+\sqrt{3})(\sqrt{60}-\sqrt{12}-\sqrt{45}+3)}{2-\sqrt{3}}\]

\[\frac{(\sqrt{15}+\sqrt{3})(2\sqrt{15}-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}+3)}{2-\sqrt{3}}\]

\[\frac{2 \cdot 15 - 2\sqrt{45} - 3\sqrt{75} + 3\sqrt{15} + 2\sqrt{45} - 2 \cdot 3 - 3\sqrt{15} + 3\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\]

\[\frac{30 - 6 - 3\sqrt{25 \cdot 3} + 3\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\]

\[\frac{24 - 15\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\]

\[\frac{24 - 12\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\]

\[\frac{12(2 - \sqrt{3})}{2-\sqrt{3}}\]

\[12\]

Ответ: 12

б)

(\(\sqrt{21}-2\))\(\sqrt{25} + 2\sqrt{84}\)

(\(\sqrt{21}-2\))\(5 + 2\sqrt{4 \cdot 21}\)

(\(\sqrt{21}-2\))\(5 + 4\sqrt{21}\)

5\(\sqrt{21}\) + 4 \cdot 21 - 10 - 8\(\sqrt{21}\)

-3\(\sqrt{21}\) + 84 - 10

74 - 3\(\sqrt{21}\)

Ответ: 74 - 3\(\sqrt{21}\)

3. Вычислите.

\[\frac{2^{19} \cdot 27^3 + 15 \cdot 49 \cdot 9^4}{6^9 \cdot 2^{10} + 12^{10}}\]

\[\frac{2^{19} \cdot (3^3)^3 + 15 \cdot 7^2 \cdot (3^2)^4}{(2 \cdot 3)^9 \cdot 2^{10} + (2^2 \cdot 3)^{10}}\]

\[\frac{2^{19} \cdot 3^9 + 15 \cdot 7^2 \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9 \cdot 2^{10} + 2^{20} \cdot 3^{10}}\]

\[\frac{2^{19} \cdot 3^9 + 3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 3^8}{2^{19} \cdot 3^9 + 2^{20} \cdot 3^{10}}\]

\[\frac{2^{19} \cdot 3^9 + 5 \cdot 7^2 \cdot 3^9}{2^{19} \cdot 3^9 + 2^{20} \cdot 3^{10}}\]

\[\frac{3^9(2^{19} + 5 \cdot 49)}{3^9(2^{19} + 2 \cdot 3)}\]

\[\frac{2^{19} + 245}{2^{19} + 6}\]

\[\frac{524288 + 245}{524288 + 6}\]

\[\frac{524533}{524294}\]

Ответ: \(\frac{524533}{524294}\)

4. Упростите выражение и найдите его значение при a = 18/35.

\[(\frac{4}{a^2+a} - \frac{2}{1-a^2} - \frac{1}{a^2-a}) : \frac{2a-1}{a^2+a}\]

\[(\frac{4}{a(a+1)} + \frac{2}{(1-a)(1+a)} - \frac{1}{a(a-1)}) : \frac{2a-1}{a(a+1)}\]

\[(\frac{4(1-a)}{a(a+1)(1-a)} + \frac{2a}{a(1-a)(1+a)} - \frac{1(a+1)}{a(a-1)(a+1)}) : \frac{2a-1}{a(a+1)}\]

\[(\frac{4-4a}{a(1-a^2)} + \frac{2a}{a(1-a^2)} - \frac{a+1}{a(a^2-1)}) : \frac{2a-1}{a(a+1)}\]

\[(\frac{4-4a}{a(1-a^2)} + \frac{2a}{a(1-a^2)} + \frac{a+1}{a(1-a^2)}) : \frac{2a-1}{a(a+1)}\]

\[\frac{4-4a + 2a + a + 1}{a(1-a^2)} : \frac{2a-1}{a(a+1)}\]

\[\frac{5-a}{a(1-a^2)} : \frac{2a-1}{a(a+1)}\]

\[\frac{5-a}{a(1-a)(1+a)} \cdot \frac{a(a+1)}{2a-1}\]

\[\frac{5-a}{(1-a)} \cdot \frac{1}{2a-1}\]

\[\frac{5-a}{(1-a)(2a-1)}\]

Теперь подставим a = 18/35:

\[\frac{5-\frac{18}{35}}{(1-\frac{18}{35})(2 \cdot \frac{18}{35}-1)}\]

\[\frac{\frac{175-18}{35}}{(\frac{35-18}{35})(\frac{36}{35}-\frac{35}{35})}\]

\[\frac{\frac{157}{35}}{(\frac{17}{35})(\frac{1}{35})}\]

\[\frac{\frac{157}{35}}{\frac{17}{35^2}}\]

\[\frac{157}{35} \cdot \frac{35^2}{17}\]

\[\frac{157 \cdot 35}{17}\]

\[\frac{5495}{17}\]

Ответ: \(\frac{5495}{17}\)

5. Задача про велосипедистов.

Пусть скорость второго велосипедиста x км/ч, тогда скорость первого x+3 км/ч.

Время, которое затратил первый велосипедист: 88/(x+3) часов.

Время, которое затратил второй велосипедист: 88/x часов.

Из условия задачи известно, что первый велосипедист прибыл на 3 часа раньше второго, поэтому:

\[\frac{88}{x} - \frac{88}{x+3} = 3\]

\[88(x+3) - 88x = 3x(x+3)\]

\[88x + 264 - 88x = 3x^2 + 9x\]

\[3x^2 + 9x - 264 = 0\]

\[x^2 + 3x - 88 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

D = 3² - 4 * 1 * (-88) = 9 + 352 = 361

x₁ = (-3 + √361) / 2 = (-3 + 19) / 2 = 16 / 2 = 8

x₂ = (-3 - √361) / 2 = (-3 - 19) / 2 = -22 / 2 = -11 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Тогда скорость второго велосипедиста равна 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч

6. Решите неравенство.

\[\frac{2x+1}{3} - \frac{3x-1}{2} > 1\]

\[\frac{2(2x+1) - 3(3x-1)}{6} > 1\]

\[\frac{4x+2 - 9x+3}{6} > 1\]

\[\frac{-5x+5}{6} > 1\]

\[-5x+5 > 6\]

\[-5x > 1\]

\[x < -\frac{1}{5}\]

Наибольшее целое x, удовлетворяющее неравенству, это -1.

Ответ: -1

7. Найдите значения параметра k.

(k-2)x² + 2(k-1)x + k = 0

Для того чтобы квадратное уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю.

D = (2(k-1))² - 4(k-2)k = 0

4(k² - 2k + 1) - 4(k² - 2k) = 0

4k² - 8k + 4 - 4k² + 8k = 0

4 = 0

Если k = 2, уравнение становится линейным: 2(2-1)x + 2 = 0

2x + 2 = 0

x = -1

То есть, при k = 2 уравнение имеет единственный корень.

Ответ: k = 2

8. Задача про трапецию.

Пусть большее основание трапеции равно b, а периметр равен P.

По условию, b = P - 31, а средняя линия равна 10.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть (a+b)/2 = 10, где a - меньшее основание.

Тогда a+b = 20.

Так как трапеция равнобедренная и диагональ делит угол пополам, трапеция состоит из равнобедренного треугольника и равностороннего треугольника.

Поэтому боковая сторона равна меньшему основанию, и периметр P = a + b + 2a = 3a + b.

Подставим b = P - 31 в a + b = 20:

a + P - 31 = 20

a + P = 51

Подставим P = 3a + b в a + P = 51:

a + 3a + b = 51

4a + b = 51

Подставим a = 20 - b в 4a + b = 51:

4(20 - b) + b = 51

80 - 4b + b = 51

80 - 3b = 51

-3b = -29

b = 29/3

Тогда, поскольку b = P - 31, имеем P = b + 31 = 29/3 + 31 = (29 + 93) / 3 = 122/3

a = 20 - b = 20 - 29/3 = (60 - 29) / 3 = 31/3

Ответ: 29/3

9. Задача про треугольник.

В треугольнике стороны равны 4, √11, 3√3.

Большая сторона равна 4.

Пусть высота, проведенная к большей стороне, равна h.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

p = (4 + √11 + 3√3) / 2

S = √(p(p-4)(p-√11)(p-3√3))

С другой стороны, площадь треугольника равна (1/2) * 4 * h = 2h

То есть, 2h = √(p(p-4)(p-√11)(p-3√3))

h = (1/2) * √(p(p-4)(p-√11)(p-3√3))

Подставим p = (4 + √11 + 3√3) / 2:

h = (1/2) * √(((4 + √11 + 3√3) / 2)((4 + √11 + 3√3) / 2 - 4)((4 + √11 + 3√3) / 2 - √11)((4 + √11 + 3√3) / 2 - 3√3))

h = (1/4) * √((4 + √11 + 3√3)(√11 + 3√3 - 4)(4 - √11 + 3√3)(4 + √11 - 3√3))

Воспользуемся тем, что стороны равны 4, \(\sqrt{11}\), 3\(\sqrt{3}\). Квадрат большей стороны равен 16, а сумма квадратов двух других сторон равна 11 + 27 = 38. Т.к. 16 < 38, треугольник остроугольный.

Вычислим площадь по формуле Герона: p = (4 + \(\sqrt{11}\) + 3\(\sqrt{3}\))/2 ≈ (4 + 3.32 + 5.20)/2 ≈ 6.26

S = \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) ≈ \(\sqrt{6.26(6.26-4)(6.26-3.32)(6.26-5.20)}\) = \(\sqrt{6.26 \cdot 2.26 \cdot 2.94 \cdot 1.06}\) ≈ \(\sqrt{46.95}\) ≈ 6.85

Также, S = 0.5 * a * h, отсюда h = 2S / a = 2 * 6.85 / 4 ≈ 3.43

Ответ: 3.43

10. Задача про параллелограмм.

Пусть площадь параллелограмма ABCD равна 16.

Поскольку DM = 4DC, то DC = (1/4)DM

Площадь треугольника ADM = (1/2) * AD * DM * sin(угол ADM)

Площадь параллелограмма ABCD = AD * DC * sin(угол ADC) = AD * DC * sin(180 - угол ADM) = AD * DC * sin(угол ADM) = 16

Площадь треугольника ABK = ?

Площадь треугольника ABM = (1/2) * BM * h, где h - высота, опущенная из точки A на прямую BM.

Площадь треугольника ABK = (1/2) * BK * h, где h - высота, опущенная из точки A на прямую BC.

Поскольку DM = 4DC, то DC = (1/4)DM = AB. Т.к. ABCD - параллелограмм, то DC || AB, и, значит, AB || DM.

Т.к. DM = 4DC, то DC/DM = 1/4, значит CM = CD + DM = DC + 4DC = 5DC = 5AB.

Т.к. K - точка пересечения AM и BC, то рассмотрим треугольник ABM.

Т.к. CK || AD, то треугольники CBK и DAK подобны.

Тогда BK / AK = CK / AD

Пусть S - площадь ABCD, тогда S = 16

Пусть S(ABK) - площадь треугольника ABK.

Т.к. CK || AD, то треугольники CBK и DAK подобны, значит CB/AD = BK/AK, где CB = AD.

Пусть S - площадь параллелограмма ABCD. S = 16.

Т.к. DM = 4DC, то DC = (1/4)DM. Т.к. ABCD - параллелограмм, то DC = AB. Значит, AB = (1/4)DM.

Т.к. BK || AD, S(ABK) = S(AMD) / 5

Ответ: 4

Ответ: Решение выше.