Решите уравнение 9+x / x+1 - 12 / x-1 = 0.

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Приведём его к общему знаменателю:

\( \frac{9+x}{x+1} - \frac{12}{x-1} = 0 \)

Общий знаменатель: \( (x+1)(x-1) \). Учтём, что \( x \neq -1 \) и \( x \neq 1 \).

\( \frac{(9+x)(x-1) - 12(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 0 \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (9x - 9 + x^2 - x) - (12x + 12) = 0 \)

\( x^2 + 8x - 9 - 12x - 12 = 0 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( x^2 - 4x - 21 = 0 \)

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( a = 1, b = -4, c = -21 \)

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \)

\( \sqrt{D} = 10 \)

Найдем корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Проверим, не равны ли корни \( -1 \) или \( 1 \). Оба корня, \( 7 \) и \( -3 \), не равны \( -1 \) и \( 1 \), поэтому они являются решениями исходного уравнения.