Решите уравнение 6log²₈(cos x)-5log₈(cos x)-1=0 и найдите корни, принадлежащие промежутку [5π/2; 4π].

Решение:

Обозначим \( y = \log_8(\cos x) \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ 6y^2 - 5y - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 \).

Корни уравнения:

\[ y_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \]

\[ y_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \):

1) \( \log_8(\cos x) = 1 \)

\[ \cos x = 8^1 \]

\[ \cos x = 8 \]

Это уравнение не имеет решений, так как \( \cos x \) не может быть больше 1.

2) \( \log_8(\cos x) = -\frac{1}{6} \)

\[ \cos x = 8^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{8}} = \frac{1}{\sqrt[6]{2^3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Из условия \( \cos x \) должно быть положительным, что выполняется.

Общее решение уравнения \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) имеет вид:

\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Теперь найдём корни, принадлежащие промежутку \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \).

Промежуток \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \) соответствует \( [2.5\pi; 4\pi] \).

Рассмотрим два случая:

а) \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)

• Для \( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \) (вне промежутка).
• Для \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} = 2.25\pi \) (вне промежутка, т.к. \( 2.25\pi < 2.5\pi \)).
• Для \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} = 4.25\pi \) (вне промежутка).

б) \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \)

• Для \( n=1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} = 1.75\pi \) (вне промежутка).
• Для \( n=2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} = 3.75\pi \) (в промежутке \( [2.5\pi; 4\pi] \)).
• Для \( n=3 \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{23\pi}{4} = 5.75\pi \) (вне промежутка).

Единственный корень, принадлежащий заданному промежутку, это \( x = \frac{15\pi}{4} \).

Ответ: \( \frac{15\pi}{4} \).