Решите уравнение 5х⁴ - 7х² - 6 = 0

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( 5y^2 - 7y - 6 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2 \)
\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 13}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \).

Для \( y_1 = 2 \):

\( x^2 = 2 \)
\( x = \pm \sqrt{2} \)

Для \( y_2 = -0.6 \):

\( x^2 = -0.6 \)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются \( x_1 = - \sqrt{2} \) и \( x_2 = \sqrt{2} \).

Ответ: x₁ = -√2, x₂ = √2.