Решите уравнение: 4sin^2(pi/21) + 4cos(pi/21) = 1 В ответ запишите величину наибольшего отрицательного корня уравнения, выраженную в градусах.

Решение:

Дано уравнение: \( 4\sin^2{\frac{\pi}{21}} + 4\cos{\frac{\pi}{21}} = 1 \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим в уравнение:

\[ 4(1 - \cos^2{\frac{\pi}{21}}) + 4\cos{\frac{\pi}{21}} = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 4 - 4\cos^2{\frac{\pi}{21}} + 4\cos{\frac{\pi}{21}} = 1 \]

Перенесём все члены в одну сторону и приведём подобные:

\[ -4\cos^2{\frac{\pi}{21}} + 4\cos{\frac{\pi}{21}} + 3 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 4\cos^2{\frac{\pi}{21}} - 4\cos{\frac{\pi}{21}} - 3 = 0 \]

Сделаем замену переменной: \( y = \cos{\frac{\pi}{21}} \). Получим квадратное уравнение:

\[ 4y^2 - 4y - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \]

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8} \]

Находим два значения \( y \):

\[ y_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

\[ y_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]

Так как \( y = \cos{\frac{\pi}{21}} \), а значение косинуса не может быть больше 1, то \( y_1 = \frac{3}{2} \) не подходит.

Рассматриваем \( y_2 = -\frac{1}{2} \). Следовательно, \( \cos{\frac{\pi}{21}} = -\frac{1}{2} \).

Теперь найдём значения \( x \) из уравнения \( \cos x = -\frac{1}{2} \).

Общее решение уравнения \( \cos x = a \) имеет вид \( x = \pm \arccos a + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

В нашем случае, \( \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} \).

Таким образом, корни уравнения:

\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \]

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого подставим различные целые значения \( n \) и выберем наибольшее отрицательное значение \( x \).

Если \( n = 0 \): \( x = \pm \frac{2\pi}{3} \).

Если \( n = -1 \):

\[ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \]

\[ x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{-2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} \]

Среди полученных отрицательных корней \( -\frac{2\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{8\pi}{3} \) наибольшим является \( -\frac{2\pi}{3} \).

Теперь переведём этот корень в градусы. Для этого умножим на 180°/\( \pi \):

\[ -\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = -2 \cdot 60^{\circ} = -120^{\circ} \]

Примечание: Аргумент \( \frac{\pi}{21} \) в исходном уравнении \( 4\sin^2{\frac{\pi}{21}} + 4\cos{\frac{\pi}{21}} = 1 \) фактически является константой, и решение сводится к решению уравнения \( 4y^2 - 4y - 3 = 0 \) для \( y = \cos{\frac{\pi}{21}} \). Если бы в условии было \( 4\sin^2 x + 4\cos x = 1 \), то мы бы решали \( \cos x = -1/2 \) для \( x \). Так как в уравнении аргумент \( \frac{\pi}{21} \) фиксирован, то \( \cos{\frac{\pi}{21}} \) имеет одно конкретное значение. Если это значение \( -1/2 \), то уравнение выполняется. В противном случае, оно либо не имеет решений, либо имеет решения, отличные от \( \cos x = -1/2 \). Учитывая, что в задаче просят найти корни уравнения, а не значения \( \cos{\frac{\pi}{21}} \), предполагается, что \( x \) является переменной, а \( \frac{\pi}{21} \) — это какой-то фиксированный угол, и в таком случае уравнение должно быть \( 4\sin^2 x + 4\cos x = 1 \).

Если же под \( \frac{\pi}{21} \) подразумевается переменная \( x \), то уравнение было бы \( 4\sin^2 x + 4\cos x = 1 \).

Предположим, что в задании ошибка и имелось в виду \( 4\sin^2 x + 4\cos x = 1 \).

Тогда, как показано выше, \( \cos x = -1/2 \) или \( \cos x = 3/2 \). \( \cos x = 3/2 \) невозможно.

Для \( \cos x = -1/2 \):

Корни: \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \).

Наибольший отрицательный корень:

При \( n=0 \): \( x = \frac{2\pi}{3} \) (положительный), \( x = -\frac{2\pi}{3} \) (отрицательный).

При \( n=-1 \): \( x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \) (отрицательный), \( x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \) (отрицательный).

Наибольший из отрицательных корней \( -\frac{2\pi}{3} \).

Переводим в градусы: \( -\frac{2\pi}{3} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = -120^{\circ} \).

Ответ: -120.