Решите уравнение 4х²-12х+9=(x+5)².

Решение:

Перед нами квадратное уравнение. Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки:

   \[ 4x^2 - 12x + 9 = (x+5)^2 \]

   Правая часть уравнения — это квадрат суммы: (a+b)² = a² + 2ab + b². В нашем случае a = x, b = 5.

   \[ 4x^2 - 12x + 9 = x^2 + 2 × x × 5 + 5^2 \]

   \[ 4x^2 - 12x + 9 = x^2 + 10x + 25 \]

2. Перенесем все слагаемые в левую часть:

   Чтобы решить уравнение, нам нужно, чтобы справа был ноль. Для этого вычтем из обеих частей x² + 10x + 25.

   \[ 4x^2 - 12x + 9 - (x^2 + 10x + 25) = 0 \]

   Не забываем менять знаки при раскрытии скобок:

   \[ 4x^2 - 12x + 9 - x^2 - 10x - 25 = 0 \]

3. Приведем подобные слагаемые:

   Сгруппируем члены с x², члены с x и свободные члены.

   \[ (4x^2 - x^2) + (-12x - 10x) + (9 - 25) = 0 \]

   \[ 3x^2 - 22x - 16 = 0 \]

4. Решим полученное квадратное уравнение:

   Уравнение вида ax² + bx + c = 0. Здесь a = 3, b = -22, c = -16.

   Найдем дискриминант по формуле: D = b² - 4ac.

   \[ D = (-22)^2 - 4 × 3 × (-16) \]

   \[ D = 484 + 192 \]

   \[ D = 676 \]

   Найдем корень из дискриминанта: √ D = √ 676 = 26.

5. Найдем корни уравнения:

   Корни находятся по формуле: x = ⁻ b ± √ D / 2a.

   Первый корень (x₁):

   \[ x_1 = ⁻ (-22) + 26 / (2 × 3) \]

   \[ x_1 = (22 + 26) / 6 \]

   \[ x_1 = 48 / 6 \]

   \[ x_1 = 8 \]

   Второй корень (x₂):

   \[ x_2 = ⁻ (-22) - 26 / (2 × 3) \]

   \[ x_2 = (22 - 26) / 6 \]

   \[ x_2 = -4 / 6 \]

   \[ x_2 = -2/3 \]

Проверка:

Подставим найденные корни в исходное уравнение.

Для x₁ = 8:

Левая часть: 4(8)² - 12(8) + 9 = 4(64) - 96 + 9 = 256 - 96 + 9 = 160 + 9 = 169.

Правая часть: (8+5)² = 13² = 169.

Левая часть равна правой. Первый корень верный.

Для x₂ = -2/3:

Левая часть: 4(-2/3)² - 12(-2/3) + 9 = 4(4/9) + 24/3 + 9 = 16/9 + 8 + 9 = 16/9 + 17 = (16 + 153)/9 = 169/9.

Правая часть: (-2/3 + 5)² = (-2/3 + 15/3)² = (13/3)² = 169/9.

Левая часть равна правой. Второй корень верный.

Ответ: 8; -2/3