Решите уравнение: 4 cos³ х - 8 sin²x - 3 sin (3π/2 - x) + 8 = 0. Найдите корни, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].

Решение:

Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества.

1. Заменим \( \sin^2 x \) на \( 1 - \cos^2 x \):
   \( 4 \cos^3 x - 8 (1 - \cos^2 x) - 3 \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + 8 = 0 \)
2. Используем формулу приведения \( \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = -\cos x \):
   \( 4 \cos^3 x - 8 + 8 \cos^2 x - 3(-\cos x) + 8 = 0 \)
3. Упростим выражение:
   \( 4 \cos^3 x + 8 \cos^2 x + 3 \cos x = 0 \)
4. Вынесем \( \cos x \) за скобки:
   \( \cos x (4 \cos^2 x + 8 \cos x + 3) = 0 \)
5. Это означает, что либо \( \cos x = 0 \), либо \( 4 \cos^2 x + 8 \cos x + 3 = 0 \).
6. Рассмотрим первое условие: \( \cos x = 0 \).
   Корни этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.
7. Рассмотрим второе условие: \( 4 \cos^2 x + 8 \cos x + 3 = 0 \).
   Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Пусть \( y = \cos x \). Тогда \( 4y^2 + 8y + 3 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение:
   \[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{-8 \pm 4}{8} \]
9. Получаем два значения для \( y = \cos x \):
   \[ y_1 = \frac{-8 + 4}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \] и \[ y_2 = \frac{-8 - 4}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \]
10. Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \( \cos x = -\frac{3}{2} \) не имеет решений.
11. Решаем \( \cos x = -\frac{1}{2} \).
    Общие корни этого уравнения: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
12. Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{7\pi}{2}; 5\pi] \).
    Переведём границы отрезка в десятичную дробь для удобства: \( \frac{7\pi}{2} \approx 3.5 \pi \), \( 5\pi \). Отрезок: \( [3.5\pi; 5\pi] \).
13. Проверим корни из \( \cos x = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).
    При \( n = 4 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
14. Проверим корни из \( \cos x = -\frac{1}{2} \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \).
    Рассмотрим \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \):
    При \( k = 2 \): \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \). \( \frac{14\pi}{3} \approx 4.67\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
15. Рассмотрим \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \):
    При \( k = 2 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \). \( \frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку.
16. При \( k = 3 \): \( x = -\frac{2\pi}{3} + 6\pi = \frac{16\pi}{3} \). \( \frac{16\pi}{3} \approx 5.33\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку.
17. Проверим ещё раз корни вида \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) для k=2.
    \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(2) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{-2\pi + 12\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}\). \( \frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку.
18. Проверим корни вида \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) для k=2.
    \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(2) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3}\). \( \frac{14\pi}{3} \approx 4.67\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
19. Повторно проверим корни вида \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) для n=4.
    \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi + 8\pi}{2} = \frac{9\pi}{2}\). \( \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.

Ответ: \( \frac{9\pi}{2} \), \( \frac{14\pi}{3} \).