Решите уравнение: 2sin^2 x + √2 sin(x + π/4) = cos x.

Решение:

Раскроем скобки в уравнении:

\[ 2\sin^2 x + \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos x \]\[ 2\sin^2 x + \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \cos x \]\[ 2\sin^2 x + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x + \cos x) = \cos x \]\[ 2\sin^2 x + \sin x + \cos x = \cos x \]\[ 2\sin^2 x + \sin x = 0 \]\[ \sin x (2\sin x + 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

• Случай 1: \( \sin x = 0 \)

Тогда \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• Случай 2: \( 2\sin x + 1 = 0 \)

\( 2\sin x = -1 \)

\( \sin x = -\frac{1}{2} \)

Тогда \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Объединяя решения, получаем:

\( x = \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).