Решите уравнение 2√3sin²(x + 3π/2) + sin 2x = 0.

Решение:

1. Воспользуемся формулами приведения: \( \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos x \) и \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
2. Подставим в уравнение: \( 2\sqrt{3}\left(-\cos x\right)^2 + 2 \sin x \cos x = 0 \).
3. Упростим: \( 2\sqrt{3} \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( 2 \cos x \): \( 2 \cos x \left(\sqrt{3} \cos x + \sin x\right) = 0 \).
5. Это даёт два случая:
• Случай 1: \( \cos x = 0 \) \( \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( \sqrt{3} \cos x + \sin x = 0 \). Разделим на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \)): \( \sqrt{3} + \text{tg } x = 0 \) \( \implies \text{tg } x = -\sqrt{3} \) \( \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
6. Проверим, не равен ли \( \cos x \) нулю для второго случая: если \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \), то \( \cos x \neq 0 \), значит, все решения подходят.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).