Решите уравнение: 2^{2x} - 6 \(\cdot\) 2^x + 8 = 0;

Решение:

Это показательное уравнение. Для его решения сделаем замену переменной. Пусть \( y = 2^x \). Тогда \( 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 \).

Получим квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ y^2 - 6y + 8 = 0 \]

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать дискриминант или разложение на множители.

1. Разложение на множители: Найдем два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Это числа 2 и 4.
\[ (y - 2)(y - 4) = 0 \]\[ y_1 = 2 \quad \text{или} \quad y_2 = 4 \]
2. Через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \

Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \).

Случай 1: \( y_1 = 2 \)

\[ 2^x = 2 \]\[ 2^x = 2^1 \]\[ x_1 = 1 \]

Случай 2: \( y_2 = 4 \)

\[ 2^x = 4 \]\[ 2^x = 2^2 \]\[ x_2 = 2 \

Проверка:

• При \( x = 1 \): \( 2^{2 \cdot 1} - 6 \cdot 2^1 + 8 = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 \). Верно.
• При \( x = 2 \): \( 2^{2 \cdot 2} - 6 \cdot 2^2 + 8 = 2^4 - 6 \cdot 4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0 \). Верно.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 2.