Решите уравнение: 10y⁴ - 21 = y²

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( x = y^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( 10x^2 - 21 = x \)

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\( 10x^2 - x - 21 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( x \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-21) = 1 + 840 = 841 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{841} = 29 \)

Найдем корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2 \cdot 10} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2 \cdot 10} = \frac{-28}{20} = -\frac{7}{5} \)

Теперь вернёмся к замене \( x = y^2 \):

1. \( y^2 = x_1 = \frac{3}{2} \)

\( y = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2} \)

2. \( y^2 = x_2 = -\frac{7}{5} \)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( y = \frac{\sqrt{6}}{2} \), \( y = -\frac{\sqrt{6}}{2} \).