Решите уравнение 2 sin2x + 3 cos x = 0. Выберите правильный вариант ответа: a) ± 2k, k ∈Z 3 б) ±2 + 2k, 2k, k ∈ Z B) 2π 3 + 2k, k ∈ Z г) ± + k, k ∈ Z 3 Выберите один ответ a) 6) B) г)

Ответ: B) 2π/3 + 2πk, k ∈ Z

Пошаговое решение:

1. Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество:

\[2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0\] \[2(1 - \cos^2 x) + 3 \cos x = 0\] \[2 - 2\cos^2 x + 3 \cos x = 0\] \[2\cos^2 x - 3 \cos x - 2 = 0\]

2. Введем замену переменной:

Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2 - 3t - 2 = 0\]

3. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\] Корни: \[t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]

4. Возвращаемся к исходной переменной:

\[\cos x = 2\] (не имеет решений, так как \(|\cos x| \le 1\)) \[\cos x = -\frac{1}{2}\]

5. Находим решения для x:

\[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: B) 2π/3 + 2πk, k ∈ Z