4) Решите уравнение 2 sin² x - 3 cos(-x) - 3 = 0. 6) Укажите все корни уравнения, принадлежащие промежутку [2п; 7π/2].

Ответ: а) π + 2πn, -π/3 + 2πn, π/3 + 2πn, n ∈ Z; б) 5π, 7π/3.

Решение:

a) Решим уравнение

\[2 \sin^2 x - 3 \cos(-x) - 3 = 0\]

Т.к. \(\cos(-x) = \cos x\) и \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), то уравнение принимает вид:

\[2(1 - \cos^2 x) - 3 \cos x - 3 = 0\]

\[2 - 2 \cos^2 x - 3 \cos x - 3 = 0\]

\[-2 \cos^2 x - 3 \cos x - 1 = 0\]

\[2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 = 0\]

Пусть \(t = \cos x\), тогда

\[2t^2 + 3t + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\]

\[t_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}\]

\[t_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1\]

Вернемся к замене:

\[\cos x = -\frac{1}{2}\]

\[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\]

\[\cos x = -1\]

\[x = \pi + 2\pi n, n \in Z\]

Решением уравнения являются:

\[x = \pi + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z\]

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\[/p]

1) \(x = \pi + 2\pi n\)

Подставим \(n = 1\)

\[x = \pi + 2\pi = 3\pi
otin [2\pi; \frac{7\pi}{2}]\]

Подставим \(n = 2\)

\[x = \pi + 4\pi = 5\pi
otin [2\pi; \frac{7\pi}{2}]\]

2) \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\)

Подставим \(n = 1\)

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}
otin [2\pi; \frac{7\pi}{2}]\]

Подставим \(n = 2\)

\[x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}
otin [2\pi; \frac{7\pi}{2}]\]

3) \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)

Подставим \(n = 1\)

\[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \in [2\pi; \frac{7\pi}{2}]\]

Подставим \(n = 2\)

\[x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}
otin [2\pi; \frac{7\pi}{2}]\]

\[\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 10.99\]

\[\frac{13\pi}{3} \approx 13.61\]

\[\frac{7\pi}{3} \approx 7.32\]

Следовательно, корнями уравнения, принадлежащими промежутку \([2\pi; \frac{7\pi}{2}]\), являются \(5\pi\) и \(\frac{7\pi}{3}\)

Ответ: а) π + 2πn, -π/3 + 2πn, π/3 + 2πn, n ∈ Z; б) 5π, 7π/3.