1) Решите уравнение 2 cos²x - √3 cosx - 3 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7; 11].

Решим уравнение 2 cos²x - √3 cosx - 3 = 0.

Сделаем замену: t = cosx. Тогда уравнение примет вид:

2t² - √3 t - 3 = 0.

Решим это квадратное уравнение, найдя дискриминант:

$$D = (-√3)^2 - 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27$$

Теперь найдем корни:

$$t_1 = \frac{√3 + √27}{4} = \frac{√3 + 3√3}{4} = \frac{4√3}{4} = √3$$

$$t_2 = \frac{√3 - √27}{4} = \frac{√3 - 3√3}{4} = \frac{-2√3}{4} = -\frac{√3}{2}$$

Вернемся к замене:

1) cosx = √3 - не имеет решений, так как |cosx| ≤ 1, a √3 > 1.

2) cosx = -√3/2

$$x = ±\frac{5π}{6} + 2πn, n ∈ Z$$

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [7; 11]. Приближенно π ≈ 3.14, тогда 7 ≈ 2.23π и 11 ≈ 3.5π.

$$x = \frac{5π}{6} + 2πn$$

$$2.23π ≤ \frac{5π}{6} + 2πn ≤ 3.5π$$

Разделим все части неравенства на π:

$$2.23 ≤ \frac{5}{6} + 2n ≤ 3.5$$

$$2.23 - \frac{5}{6} ≤ 2n ≤ 3.5 - \frac{5}{6}$$

$$2.23 - 0.83 ≤ 2n ≤ 3.5 - 0.83$$

$$1.4 ≤ 2n ≤ 2.67$$

$$0.7 ≤ n ≤ 1.335$$

Так как n - целое число, то n = 1.

$$x_1 = \frac{5π}{6} + 2π = \frac{17π}{6} ≈ \frac{17 * 3.14}{6} ≈ 8.9$$

$$x = -\frac{5π}{6} + 2πn$$

$$2.23π ≤ -\frac{5π}{6} + 2πn ≤ 3.5π$$

$$2.23 ≤ -\frac{5}{6} + 2n ≤ 3.5$$

$$2.23 + \frac{5}{6} ≤ 2n ≤ 3.5 + \frac{5}{6}$$

$$2.23 + 0.83 ≤ 2n ≤ 3.5 + 0.83$$

$$3.06 ≤ 2n ≤ 4.33$$

$$1.53 ≤ n ≤ 2.165$$

Так как n - целое число, то n = 2.

$$x_2 = -\frac{5π}{6} + 4π = \frac{19π}{6} ≈ \frac{19 * 3.14}{6} ≈ 9.94$$

Ответ: a) $$x = ±\frac{5π}{6} + 2πn, n ∈ Z$$; б) $$\frac{17π}{6}; \frac{19π}{6}$$