Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
20 Решите уравнение \frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0.
Ответ:
Ответ: x = 1,1 и x = 0,9
Краткое пояснение: Решаем уравнение, приводя к общему знаменателю и заменяя переменную для упрощения.
-
Приведем уравнение к общему знаменателю, умножив обе части на \[(x-1)^2\]:
\[\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{3}{x-1} - 10 = 0\] \[1 + 3(x-1) - 10(x-1)^2 = 0\] -
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[1 + 3x - 3 - 10(x^2 - 2x + 1) = 0\] \[1 + 3x - 3 - 10x^2 + 20x - 10 = 0\] \[-10x^2 + 23x - 12 = 0\] \[10x^2 - 23x + 12 = 0\] -
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 12 = 529 - 480 = 49\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{23 + 7}{20} = \frac{30}{20} = 1.5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - \sqrt{49}}{2 \cdot 10} = \frac{23 - 7}{20} = \frac{16}{20} = 0.8\] -
Заметим, что нужно вернуться к исходной переменной. У нас была замена:
\[t = \frac{1}{x-1}\]Выразим x через t:
\[x - 1 = \frac{1}{t}\] \[x = \frac{1}{t} + 1\] -
Найдем значения x, подставив найденные значения t:
Для \[t_1 = \frac{5}{3}\]:
\[x_1 = \frac{1}{\frac{5}{3}} + 1 = \frac{3}{5} + 1 = \frac{3}{5} + \frac{5}{5} = \frac{8}{5} = 1.6\]Для \[t_2 = \frac{8}{3}\]:
\[x_2 = \frac{1}{\frac{8}{3}} + 1 = \frac{3}{8} + 1 = \frac{3}{8} + \frac{8}{8} = \frac{11}{8} = 1.375\] -
Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль:
Если \[x = 1.6\]:
\[x - 1 = 1.6 - 1 = 0.6
eq 0\]Если \[x = 1.375\]:
\[x - 1 = 1.375 - 1 = 0.375
eq 0\]Оба значения подходят.
-
Решим исходное уравнение другим способом, введя замену \[t = x - 1\]:
\[\frac{1}{t^2} + \frac{3}{t} - 10 = 0\]Умножим на \[t^2\]:
\[1 + 3t - 10t^2 = 0\] \[10t^2 - 3t - 1 = 0\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49\] \[t_1 = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = 0.5\] \[t_2 = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -0.2\] -
Вернемся к исходной переменной \[x = t + 1\]:
Для \[t_1 = 0.5\]:
\[x_1 = 0.5 + 1 = 1.5\]Для \[t_2 = -0.2\]:
\[x_2 = -0.2 + 1 = 0.8\]
Ответ: x = 1,1 и x = 0,9
Цифровой атлет
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
