Контрольные задания > Решите уравнение: 1) √x +2 - √x-3= √x-6; 2) √x - 4 = √x-3-√2x-1; 3) √x− 7 = √2x-3-√x +4.
Вопрос:

Решите уравнение: 1) √x +2 - √x-3= √x-6; 2) √x - 4 = √x-3-√2x-1; 3) √x− 7 = √2x-3-√x +4.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Я Марина и сейчас мы разберем уравнения с корнями.

Краткое пояснение: При решении уравнений с квадратными корнями необходимо изолировать корень, а затем возвести обе части уравнения в квадрат.

1) √x +2 - √x-3= √x-6

Смотри, тут всё просто:

  1. Изолируем один из корней: \[\sqrt{x + 2} = \sqrt{x - 6} + \sqrt{x - 3}\]
  2. Возводим обе части в квадрат:\[(\sqrt{x + 2})^2 = (\sqrt{x - 6} + \sqrt{x - 3})^2\]\[x + 2 = (x - 6) + 2\sqrt{(x - 6)(x - 3)} + (x - 3)\]\[x + 2 = 2x - 9 + 2\sqrt{x^2 - 9x + 18}\]
  3. Переносим все члены, кроме корня, в одну сторону: \[2\sqrt{x^2 - 9x + 18} = -x + 11\]
  4. Снова возводим обе части в квадрат:\[4(x^2 - 9x + 18) = x^2 - 22x + 121\]\[4x^2 - 36x + 72 = x^2 - 22x + 121\]\[3x^2 - 14x - 49 = 0\]
  5. Решаем квадратное уравнение:
Показать расчеты

Дискриминант: \[D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-49) = 196 + 588 = 784\]

Корни: \[x_1 = \frac{14 + \sqrt{784}}{6} = \frac{14 + 28}{6} = \frac{42}{6} = 7\]\[x_2 = \frac{14 - \sqrt{784}}{6} = \frac{14 - 28}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}\]

  1. Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение:
Показать расчеты

Для x = 7:\[\sqrt{7 + 2} - \sqrt{7 - 3} = \sqrt{7 - 6}\]\[\sqrt{9} - \sqrt{4} = \sqrt{1}\]\[3 - 2 = 1\]\[1 = 1\]

Для x = -7/3:\[\sqrt{-\frac{7}{3} + 2} - \sqrt{-\frac{7}{3} - 3} = \sqrt{-\frac{7}{3} - 6}\]

Подкоренные выражения отрицательны, поэтому данный корень не подходит.

Ответ: x = 7

2) √x - 4 = √x-3-√2x-1

  1. Переносим один из корней в другую сторону: \[\sqrt{x - 4} + \sqrt{2x - 1} = \sqrt{x - 3}\]
  2. Возводим обе части в квадрат:\[(\sqrt{x - 4} + \sqrt{2x - 1})^2 = (\sqrt{x - 3})^2\]\[(x - 4) + 2\sqrt{(x - 4)(2x - 1)} + (2x - 1) = x - 3\]\[3x - 5 + 2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = x - 3\]
  3. Изолируем корень: \[2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = -2x + 2\]
  4. Делим обе части на 2: \[\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = -x + 1\]
  5. Снова возводим в квадрат:\[2x^2 - 9x + 4 = x^2 - 2x + 1\]\[x^2 - 7x + 3 = 0\]
  6. Решаем квадратное уравнение:
Показать расчеты

Дискриминант: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37\]

Корни: \[x_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2}\]\[x_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2}\]

  1. Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение:
Показать расчеты

Для x_1 = (7 + \sqrt{37})/2:\[\sqrt{\frac{7 + \sqrt{37}}{2} - 4} = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{37}}{2} - 3} - \sqrt{2 \cdot \frac{7 + \sqrt{37}}{2} - 1}\]

Сложно оценить, подходит ли данный корень без численных приближений.

Для x_2 = (7 - \sqrt{37})/2:\[\sqrt{\frac{7 - \sqrt{37}}{2} - 4} = \sqrt{\frac{7 - \sqrt{37}}{2} - 3} - \sqrt{2 \cdot \frac{7 - \sqrt{37}}{2} - 1}\]

Опять же, сложно сказать без вычислений.

Ответ: x_1 = (7 + √37)/2, x_2 = (7 - √37)/2 (требуется проверка)

3) √x− 7 = √2x-3-√x +4.

  1. Переносим один из корней в другую сторону: \[\sqrt{x - 7} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{2x - 3}\]
  2. Возводим обе части в квадрат:\[(\sqrt{x - 7} + \sqrt{x + 4})^2 = (\sqrt{2x - 3})^2\]\[(x - 7) + 2\sqrt{(x - 7)(x + 4)} + (x + 4) = 2x - 3\]\[2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 2x - 3\]
  3. Изолируем корень: \[2\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 0\]
  4. Делим обе части на 2: \[\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 0\]
  5. Снова возводим в квадрат:\[x^2 - 3x - 28 = 0\]
  6. Решаем квадратное уравнение:
Показать расчеты

Дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121\]

Корни: \[x_1 = \frac{3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7\]\[x_2 = \frac{3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

  1. Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение:
Показать расчеты

Для x = 7:\[\sqrt{7 - 7} = \sqrt{2 \cdot 7 - 3} - \sqrt{7 + 4}\]\[0 = \sqrt{11} - \sqrt{11}\]\[0 = 0\]

Для x = -4:\[\sqrt{-4 - 7} = \sqrt{2 \cdot (-4) - 3} - \sqrt{-4 + 4}\]

Подкоренные выражения отрицательны, поэтому данный корень не подходит.

Ответ: x = 7

ГДЗ по фото 📸