Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
6. Решите уравнение $$(\frac{343}{64})^{2x-4}=(3\frac{1}{16})^{2x}$$ 7. Докажите, что значение выражения $$7^{41} – 2$$ кратно 5.
Ответ:
6. Решите уравнение $$(\frac{343}{64})^{2x-4}=(3\frac{1}{16})^{2x}$$
- Представим обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями. Заметим, что $$343 = 7^3$$, $$64 = 2^6 = 4^3 = 8^2$$, а $$3\frac{1}{16} = \frac{49}{16} = (\frac{7}{4})^2$$. Таким образом, можем переписать уравнение как:$$\left(\frac{7^3}{2^6}\right)^{2x-4} = \left(\frac{49}{16}\right)^{2x}$$ $$\left(\frac{7^3}{2^6}\right)^{2x-4} = \left(\frac{7^2}{4^2}\right)^{2x}$$ $$\left((\frac{7}{4})^3\right)^{2x-4} = \left(\frac{7}{4}\right)^{4x}$$ $$\left(\frac{7}{4}\right)^{3(2x-4)} = \left(\frac{7}{4}\right)^{4x}$$ $$\left(\frac{7}{4}\right)^{6x-12} = \left(\frac{7}{4}\right)^{4x}$$
- Так как основания степеней равны, можем приравнять показатели: $$6x - 12 = 4x$$
- Решим полученное линейное уравнение относительно $$x$$: $$6x - 4x = 12$$ $$2x = 12$$ $$x = 6$$
- Для доказательства того, что $$7^{41} - 2$$ кратно 5, рассмотрим последние цифры степеней числа 7.
- Вычислим несколько первых степеней числа 7 и посмотрим на их последние цифры:
- $$7^1 = 7$$
- $$7^2 = 49$$ (последняя цифра 9)
- $$7^3 = 343$$ (последняя цифра 3)
- $$7^4 = 2401$$ (последняя цифра 1)
- $$7^5 = 16807$$ (последняя цифра 7)
- Определим, какая последняя цифра у числа $$7^{41}$$. Так как $$41 = 4 \cdot 10 + 1$$, последняя цифра $$7^{41}$$ будет такой же, как у $$7^1$$, то есть 7.
- Теперь рассмотрим выражение $$7^{41} - 2$$. Поскольку последняя цифра $$7^{41}$$ равна 7, то последняя цифра выражения $$7^{41} - 2$$ равна $$7 - 2 = 5$$.
- Если число оканчивается на 5, то оно делится на 5 без остатка. Следовательно, $$7^{41} - 2$$ кратно 5.
