Решите уравнение 3 (−4)² − 4 x−4 + 1 = 0. Сколько корней имеет уравнение? Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите их произведение.

Ответ: 16

Решение:

Пусть \[t = \frac{1}{x-4}\]

Тогда уравнение примет вид:

\[3t^2 - 4t + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4\]

\[t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1\]

\[t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Теперь найдем значения x:

\[\frac{1}{x-4} = 1 \Rightarrow x - 4 = 1 \Rightarrow x_1 = 5\]

\[\frac{1}{x-4} = \frac{1}{3} \Rightarrow x - 4 = 3 \Rightarrow x_2 = 7\]

Проверим, не являются ли корни посторонними, подставив их в исходное уравнение. Оба корня подходят.

Произведение корней: \[5 \cdot 7 = 35\]

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 35