Решите уравнение 6(²+¹/²)+5(+¹/)-38=0 При необходимости округляйте до сотых (два знака после запятой). Сколько корней имеет это уравнение?

Пошаговое решение:

1. Введём замену:
   Пусть \( t = x + \frac{1}{x} \). Тогда \( t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \), следовательно, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 \).
2. Подставим замену в уравнение:
   Исходное уравнение примет вид: \[ 6(t^2 - 2) + 5t - 38 = 0 \] \[ 6t^2 - 12 + 5t - 38 = 0 \] \[ 6t^2 + 5t - 50 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение относительно t:
   Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-50) = 25 + 1200 = 1225 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 \] Найдем корни: \[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 6} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5 \] \[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 6} = \frac{-40}{12} = -\frac{10}{3} \]
4. Вернёмся к исходной переменной x:
   Для \( t_1 = 2.5 \): \[ x + \frac{1}{x} = 2.5 \] \[ x^2 + 1 = 2.5x \] \[ x^2 - 2.5x + 1 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D_1 = (-2.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6.25 - 4 = 2.25 \] \[ \sqrt{D_1} = \sqrt{2.25} = 1.5 \] \[ x_{1,2} = \frac{2.5 \pm 1.5}{2} \] \[ x_1 = \frac{2.5 + 1.5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{2.5 - 1.5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \] Для \( t_2 = -\frac{10}{3} \): \[ x + \frac{1}{x} = -\frac{10}{3} \] \[ x^2 + 1 = -\frac{10}{3}x \] \[ x^2 + \frac{10}{3}x + 1 = 0 \] \[ 3x^2 + 10x + 3 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D_2 = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \] \[ \sqrt{D_2} = \sqrt{64} = 8 \] \[ x_{3,4} = \frac{-10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6} \] \[ x_3 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ x_4 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: 4