Решите уравнение \frac{2 \sin^2 x - 5 \sin x - 3}{\sqrt{x + \frac{\pi}{6}}} = 0.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Приравниваем числитель к нулю:

\[2 \sin^2 x - 5 \sin x - 3 = 0\]

• Шаг 2: Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Пусть \(t = \sin x\), тогда:

\[2t^2 - 5t - 3 = 0\]

• Шаг 3: Находим дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\]

• Шаг 4: Находим корни:

\[t_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[t_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\]

• Шаг 5: Возвращаемся к \(\sin x\):

\[\sin x = 3 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}\]

Так как \(-1 \le \sin x \le 1\), то \(\sin x = 3\) не имеет решений.

• Шаг 6: Решаем уравнение \(\sin x = -\frac{1}{2}\):

\[x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] \[x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] \[x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

• Шаг 7: Проверяем знаменатель:

Знаменатель \(\sqrt{x + \frac{\pi}{6}}\) должен быть больше нуля, то есть:

\[x + \frac{\pi}{6} > 0\] \[x > -\frac{\pi}{6}\]

• Шаг 8: Рассмотрим серию решений \(x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n\) и проверим, удовлетворяют ли они условию \(x > -\frac{\pi}{6}\).

Показать анализ серий

При \(n = 0\):

\[x = (-1)^{0+1} \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{6}\]

Это значение не удовлетворяет условию \(x > -\frac{\pi}{6}\), так как \(x = -\frac{\pi}{6}\).

При \(n = 1\):

\[x = (-1)^{1+1} \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}\]

Это значение удовлетворяет условию \(x > -\frac{\pi}{6}\).

При \(n = -1\):

\[x = (-1)^{-1+1} \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}\]

Это значение не удовлетворяет условию \(x > -\frac{\pi}{6}\).

Таким образом, нужно проверить, какие значения n дают \(x > -\frac{\pi}{6}\).

• Шаг 9: Уточняем серию решений, исключая \(x = -\frac{\pi}{6}\).

Общая формула для корней:

\[x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Для более компактной записи:

\[x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, n
eq 0\]

Окончательная серия:

\[x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, n \ge 1\]

Ответ:

\[x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, n \ge 1\]